페아노 존재 정리

동역학계 이론에서, 페아노 존재 정리(-存在定理, 영어: Peano existence theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재에 대한 정리이다.

정의

다음과 같은 초깃값 문제를 생각하자.

$y'(t)=f(t,y(t))$

$y(t_{0})=y_{0}$

열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 및 연속 함수 $f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}$가 주어졌다고 하자. 페아노 존재 정리에 따르면, 임의의 $y_{0}\in U$에 대하여, 위 초깃값 문제는 국소적 해 $\phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U$ ($0<\delta \leq a$)를 갖는다.^{:13, §3.2, Theorem 3.3} 만약 추가로 $U=\mathbb {R} ^{n}$이며 $f$가 유계 함수일 경우, 위 초깃값 문제는 대역적 해 $\phi \colon [t_{0},t_{0}+a]\to U$를 갖는다.^{:12, §3.2, Theorem 3.2}

증명 (국소적 해의 존재):

우선

$b>0$

$\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\colon |y-y_{0}|\leq b\}\subseteq U$

$M=\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|<\infty$

$\delta =\min \left\{a,{\frac {b}{M}}\right\}$

라고 하자. 연속 함수 $[t_{0},t_{0}+\delta ]\to \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)$들의 상한 노름 $\Vert \cdot \Vert _{\infty }$에 대한 바나흐 공간 ${\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$ 위의 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

$T\colon {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))\to {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$

$T\phi \colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\mathrm {d} s$

이 작용소의 공역을 ${\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$로 제한할 수 있는 것은 임의의 $\phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$ 및 $t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]$에 대하여

$|(T\phi )(t)-y_{0}|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq M\delta \leq b$

이기 때문이다. 위 초깃값 문제의 해 $\phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$는 자명하게 $T$의 고정점과 동치이다. 샤우데르 고정점 정리에 따라, $T$의 고정점의 존재는 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

• ㈀ $T$는 연속 함수
• 치역 $T({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)))$은 ${\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$의 상대 콤팩트 집합

아르첼라-아스콜리 정리에 따라, 두 번째 조건은 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

• ㈁ $T({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)))$는 유계 집합
• ㈂ $T({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)))$는 균등 동등 연속 함수족

㈀: $\Vert \phi _{n}-\phi \Vert _{\infty }\to 0$라고 가정하자. $f$는 $[t_{0},t_{0}+\delta ]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)$에서 균등 연속 함수이므로,

$\sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi _{n}(s))-f(s,\phi (s))|\to 0$

이다. 또한

$|(T\phi _{n}-T\phi )(t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\leq \delta \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|$

이므로,

$\Vert T\phi _{n}-T\phi \Vert _{\infty }\leq \delta \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\to 0$

이다.

㈁: 임의의 $\phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$ 및 $t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]$에 대하여,

$|(T\phi )(t)|\leq |y_{0}|+\int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq |y_{0}|+M\delta$

㈂: 임의의 $\phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$ 및 $t,t'\in [t_{0},t_{0}+\delta ]$에 대하여,

$|(T\phi )(t)-(T\phi )(t')|\leq \left|\int _{t'}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\right|\leq M|t-t'|$

증명 (대역적 해의 존재):

만약 $U=\mathbb {R} ^{n}$이며 $f$가 유계 함수라면, 위 증명에서 $b=\infty$ 및 $M=\sup |f|$ 및 $\delta =a$를 취하면 대역적 해의 존재의 증명을 얻는다.

역사

주세페 페아노의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Peano theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.