특이 호몰로지

대수적 위상수학에서, 특이 호몰로지(singular homology)는 단체(simplex)를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의

특이단체

$n$차원 표준단체(standard simplex) $\Delta ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$은 다음과 같다.

$\Delta ^{n}=\left\{(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})|0\leq x_{i}\leq 1,\;\sum _{i}x_{i}=1\right\}$.

이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

$X$가 위상공간이라고 하자. $X$ 위의 $n$차원 특이단체(singular complex)는 연속함수 $\sigma _{n}\colon \Delta ^{n}\to X$를 뜻한다. $X$ 위의 $n$차원 사슬(chain)은 모든 $n$차원 특이단체로 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 이 아벨 군을 $C_{n}(X)$이라고 쓰자.

경계 연산자

표준단체 $\Delta ^{n}$의 꼭지점들을 $p_{1},\dots ,p_{n}$이라고 하자. 표준단체 $\Delta ^{n}$의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 $n+1$개의 꼭지점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

$[p_{0},p_{2},\dots ,p_{k-1},p_{k+1},\dots ,p_{n}]$

의 꼴이다. 이를 편의상

$[p_{0},p_{1},\dots ,p_{k-1},{\hat {p}}_{k},p_{k+1},\dots ,p_{n}]$

로 쓰자.

$n$차원 특이단체 $\sigma _{n}\colon \Delta ^{n}\to X$의 경계(boundary) $\partial _{n}\sigma _{n}\in C_{n-1}$는 다음과 같다.

$\partial _{n}\sigma _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}\sigma |_{[p_{0},\dots ,{\hat {p}}_{k},\dots ,p_{n}]}$.

경계 연산자 $\partial _{n}$는 특이단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 $\partial _{n}\colon C_{n}\to C_{n-1}$이다. 이는 아벨 군의 군 준동형사상을 이룬다. 또한, $\partial _{n-1}\circ \partial _{n}\colon C_{n}\to C_{n-2}$는 항상 0이다. 따라서 $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지 군

$H_{n}(X)=\ker \partial _{n}/\operatorname {im} \partial _{n+1}$

들을 특이 호몰로지라고 한다.

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge University Press. 108쪽. ISBN 0-521-79540-0.