무어-펜로즈 유사역행렬

수학의 선형대수학 분야에서, 행렬 A의 의사역행렬(疑似逆行列) A⁺는 역행렬의 일반화된 꼴이다. 가장 널리 알려진 의사역행렬의 종류는 무어-펜로즈 역행렬로서, E. H. 무어, 아르네 벼르하마르, 로저 펜로즈가 각각 독립적으로 1920년, 1951년, 1955년에 제안했다. 특별히 다른 언급이 없다면 행렬의 의사역행렬은 무어-펜로즈 역행렬을 가리킨다.

의사역행렬은 유일한 해가 존재하지 않는 선형연립방정식에서 최소제곱법에 따른 최적해를 구하기 위해 흔히 사용된다. 혹은 해가 여러 개 존재하는 선형연립방정식에서 유클리드 노름을 최소화하는 해를 찾는 데에 사용되기도 한다. 또한 의사역행렬을 사용하면 선형대수학의 많은 부분을 보다 쉽게 서술하고 증명할 수 있다.

의사역행렬은 모든 실수 혹은 허수 원소 행렬에 대해 유일하게 존재한다. 특잇값 분해를 사용하면 의사역행렬을 구할 수 있다.

정의

$A\in \mathrm {M} (m,n;K)$에 대하여, $A$의 의사역행렬 $A^{+}\in \mathrm {M} (n,m;K)$는 무어-펜로즈 조건이라고 불리는 다음의 네 가지 조건을 모두 만족하는 행렬로 정의된다.

1. $AA^{+}A=A\,\!$       (AA⁺는 일반적인 단위행렬일 필요는 없으나, A의 모든 열벡터를 보존하는 행렬이어야 한다.);
2. $A^{+}AA^{+}=A^{+}\,\!$       (A⁺는 반군에서의 약한 역이다.);
3. $(AA^{+})^{*}=AA^{+}\,\!$       (AA⁺는 에르미트 행렬이다.);
4. $(A^{+}A)^{*}=A^{+}A\,\!$       (A⁺A도 에르미트 행렬이다.).

$A^{+}$는 모든 행렬 $A$에 대해 존재하나, $A$가 최대계수를 가질 때(full-rank)에만 대수적으로 간단하게 표현된다.

만약 $A$의 열벡터가 모두 선형독립인 경우, $A^{*}A$는 가역행렬이 되며 $A^{+}$는 다음과 같이 계산된다:

$A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}\,.$

이러한 의사역행렬을 좌측 역행렬이라고 하는데, $A^{+}A=I$가 성립하기 때문이다.

$A$의 행벡터가 모두 선형독립인 경우, $AA^{*}$는 가역행렬이 되며 $A^{+}$는 다음과 같이 계산된다:

$A^{+}=A^{*}(AA^{*})^{-1}\,.$

이러한 경우에는 $AA^{+}=I$가 성립하므로, $A^{+}$를 우측 역행렬이라고 부른다.

성질

존재성과 유일성

의사역행렬은 항상 존재하며, 유일하다. 즉, 임의의 행렬 $A$에 대하여, 의사역행렬 정의의 네 가지 조건을 만족하는 행렬 $A^{+}$는 반드시 하나 존재한다.

첫 번째 조건을 만족하는 행렬을 일반화된 역(generalized inverse)이라고 한다. 그러한 행렬이 두 번째 조건도 만족하는 경우, 이를 일반화된 반사적 역(generalized reflexive inverse)이라고 한다. 일반화된 역과 일반화된 반사적 역은 항상 존재하지만 유일하지는 않다. 그러나 나머지 두 조건까지 만족하는 행렬은 유일하게 존재한다.

기본 성질

• 만약 $A$의 원소가 실수라면, $A^{+}$도 그러하다.
• 만약 $A$가 가역행렬이라면, 의사역행렬이 곧 역행렬이다. 즉, $A^{+}=A^{-1}$이다.
• 영행렬의 의사역행렬은 그 행렬의 전치행렬이다.
• 의사역행렬의 의사역행렬은 원래 행렬과 같다. 즉, $(A^{+})^{+}=A$이다.
• 의사역행렬을 구하는 연산은 전치, 켤레, 켤레전치에 대하여 교환법칙이 성립한다. 즉,

$(A^{\mathrm {T} })^{+}=(A^{+})^{\mathrm {T} },~~(\,{\overline {A}}\,)^{+}={\overline {A^{+}}},~~(A^{*})^{+}=(A^{+})^{*}.\,\!$

• 행렬 $A$에 스칼라를 곱한 행렬의 의사역행렬은 $A^{+}$를 그 스칼라로 나눈 것과 같다. 즉,

$(\alpha A)^{+}=\alpha ^{-1}A^{+}\,\!$. (이때, $\alpha \neq 0$)