다항 계수

수학에서, 다항 정리(多項定理, 영어: multinomial theorem)는 다항식의 거듭제곱을 전개하는 정리이다. 전개식의 계수를 다항 계수(多項係數, 영어: multinomial coefficient)라고 한다.

정의

다항 정리에 따르면, 다음과 같은 다항식의 전개가 성립한다.

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}$

여기서

${\binom {n}{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}=\prod _{i=1}^{m}{\binom {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{i}}{k_{i}}}$

이며, 이를 다항 계수라고 한다. 다중지표 표기법

$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})$

$K=(k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m})$

을 사용하여 다항 정리를 다음과 같이 적을 수 있다.

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{K\in \mathbb {N} ^{m}}^{|K|=n}{\binom {n}{K}}x^{K}$

증명

이항 정리와 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다.

같이 보기

• 다항 분포

바깥 고리

• 이철희. “다항정리”. 《수학노트》. 
• “Multinomial coefficient”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Multinomial coefficient”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Multinomial series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Multinomial theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Multinomial theorem (proof)”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Multinomial coefficient”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Multinomial theorem”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Multinomial coefficient expressed as product of binomial coefficients”. 《ProofWiki》 (영어).