극한 (범주론): 두 판 사이의 차이

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2016년 12월 16일 (금) 19:27 판

수학의 한 분야인 범주론에서 극한(極限, 영어: limit)은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구조물들(예로서 곱이나 역극한 등)이 갖는 공통된 성질을 보존하며 일반화시킨 추상적인 개념이다. 그 쌍대 개념인 쌍대극한(雙對極限, 영어: colimit)은 서로소 합집합이나 직합 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 보편 사상 및 수반 함자 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

정의

$J$ 와 $C$ 가 범주이고 $F\colon J\to C$ 가 함자이며 $N$ 이 $C$ 의 대상이라 하자. 이때 함자 $F$ 의 뿔(영어: cone)이란 $J$ 의 임의의 대상 $X$ 에 대해 다음을 만족하는 $N$ 과 사상 $\psi _{X}\colon N\to F(X)$ 이다:

$J$ 의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대해 $F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}$ .

함자의 극한이란 한마디로 보편뿔(영어: universal cone)이다. 구체적으로 말해, $F$ 의 뿔 $(L,\phi _{X})$ 이 $F$ 의 극한이라는 것은 $F$ 의 임의의 뿔 $(N,\psi _{X})$ 에 대해 유일한 사상 $u\colon L\to N$ 이 존재해서 모든 $X$ 에 대해 $\phi _{X}\circ u=\psi _{X}$ 을 만족시키는 경우를 말한다. 이를 두고 사상 $\psi _{X}$ 들이 $L$ 을 통해 $u$ 로 유일하게 분해된다고 말할 수도 있다.

참고 문헌

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

바깥 고리

“Inductive limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Projective limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“System (in a category)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Limit”. 《nLab》 (영어).
“Colimit”. 《nLab》 (영어).

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 ==정의==
-J와 C가 범주이고 F가 J에서 C로의 [[함자 (수학)|함자]]이며 N이 C의 대상이라 하자. 이때 함자 F의 [[함자의 뿔|뿔]]이란 J의 임의의 대상 X에 대해 N에 다음의 조건을 만족하는 사상 ψ<sub>X</sub> : N → F(X)가 주어진 것이다:
+<math>J</math>와 <math>C</math>가 범주이고 <math>F\colon J\to C</math>가 [[함자 (수학)|함자]]이며 <math>N</math>이 <math>C</math>의 대상이라 하자. 이때 함자 <math>F</math>의 '''뿔'''({{llang|en|cone}})이란 <math>J</math>의 임의의 대상 <math>X</math>에 대해 다음을 만족하는 <math>N</math>과 사상 <math>\psi_X\colon N\to F(X)</math>이다:
-:임의의 f : X → Y ∈ J에 대해 F(f) o ψ<sub>X</sub> = ψ<sub>Y</sub>.
+* <math>J</math>의 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대해 <math>F(f)\circ\psi_X=\psi_Y</math>.
-함자의 '''극한'''이란 한마디로 [[보편뿔]]이다. 구체적으로 말해, F의 뿔 (L, φ<sub>X</sub>)이 F의 극한이라는 것은 F의 임의의 뿔 (N, ψ<sub>X</sub>)에 대해 유일한 사상 u : N → L이 존재해서 모든 X에 대해 φ<sub>X</sub> o u = ψ<sub>X</sub>을 만족시키는 경우를 말한다. 이를 두고 사상 ψ<sub>X</sub>들이 L을 통해 u로 유일 분해된다고 말할 수도 있다.
+함자의 '''극한'''이란 한마디로 '''보편뿔'''({{llang|en|universal cone}})이다. 구체적으로 말해, <math>F</math>의 뿔 <math>(L, \phi_X)</math>이 <math>F</math>의 극한이라는 것은 <math>F</math>의 임의의 뿔 <math>(N, \psi_X)</math>에 대해 유일한 사상 <math>u\colon L\to N</math>이 존재해서 모든 <math>X</math>에 대해 <math>\phi_X\circ u=\psi_X</math>을 만족시키는 경우를 말한다. 이를 두고 사상 <math>\psi_X</math>들이 <math>L</math>을 통해 <math>u</math>로 유일하게 분해된다고 말할 수도 있다.
 <div style="text-align: center;">[[그림:FunctorCone-03.png]]</div>