부등식

부등식(inequality,不等式)은 두 수를 비교하여, 어느 것이 더 크고 어느 것이 더 작은지를 간단히 나타내기위해 쓰이는 식이다. 부등식에서는 이렇게 두 수의 대소관계를 나타내기 위해, 기호 $<$ 와 $>$, ≤, ≥를 사용하는데, 두 기호를 부등호라 하며, 이 부등호가 입을 벌린 쪽이 크다. 이를테면, 두 수 a, b에 대하여, a가 b보다 클 때, 이를 부등식 a>b로 나타내는 것처럼 말이다. 그리고 밑에 밑줄이 지어져 있는 것들은 a를 포함한다.

때때로 부등식에서는 a> b> c처럼 세개 이상의 양을 비교하는 경우도 있으나, 수학에서는 이를 a> b, b> c로 나누어 생각하는 것이 여러모로 더 효율적이라고 보고, 부등식을 일반적으로 두 개의 양을 비교하기위해 쓰이는 식으로 보고있다.

그래서 부등식의 의미를 설명할 때도 두 수를 이용해서 설명하지, 세개의 수를 이용하여 설명하지는 않는다.

아래는 부등식의 의미를 체계적으로 설명한 것이다.

$a<b$는 a보다 b가 크다는 것을 의미하고, 반대로 $a>b$는 a가 b보다 크다는 것을 의미한다. 또한 $a\leq b$는 a보다 b가 크거나 같다는 것을 의미하고, $a\geq b$는 a가 b보다 크거나 같다는 것을 의미한다.

• $a<b\!\$는 a가 b 보다 작다는 것을 의미하고,
• $a>b\!\$는 a가 b 보다 크다는 것을 의미한다.
• $a\leq b$는 a가 b 보다 작거나 같다는 것을 의미하고,
• $a\geq b$는 a가 b 보다 크거나 같다는 것을 의미한다.
• $a\not <b$는 a가 b 보다 작지 않다는 것을 의미하고,
• $a\not >b$는 a가 b 보다 크지 않다는 것을 의미한다.

부등식의 본질

부등식은 한자(不等式)로 같지않은 식으로 해석되고, 영어(inequality)로 불균등으로 해석된다. 이로부터 알 수 있는 것은, 매우 오래 전의 사람들은 부등식을 두 수의 크기를 비교하는것보단, 두 수의 크기가 같지않다는 것을 나타내기위해 쓰였다.

즉, 부등식(不等式)은, 매우 이전 사람들에게는 $\quad \neq$와 같이 두 수의 크기가 같지 않다는 것을 말해주는 용도에 가까웠고, 두 수를 비교하기위해 쓰인 적은 거의 없었다고 봐도 무방하다.

그러나 고대 수학자들은 두 수의 크기를 비교하는데에 수학적 가치가 있음을 깨달았고 그들은 부등식을 두 수 또는 식의 크기를 비교하는데에도 목적을 두게 되었고, 이는 빠르게 대중화되었다. 곧이어 여러 사람들의 필요에 의해 $\geq$와$\leq$의 부호가 만들어졌다는것을보면 이로써 현재의 부등식의 의미는 두 수 혹은 식의 크기를 비교하는데에 목적을 둔 식이 되었음을 알 수 있다.

절대 부등식

절대부등식(絶對不等式)이란 어떤 실수에 대해서도 항상 성립하는 부등식을 말한다. 대표적인 절대부등식으로는 산술-기하 평균 부등식과 코시-슈바르츠 부등식이 있다. 반면에 특정 범위 내에서만 성립하는 부등식을 조건부등식이라고 한다. 절대부등식이 항상 성립함을 보이는 것을 부등식을 증명한다고 말하고 조건부등식의 해집합을 구하는 것을 그 부등식을 푼다고 한다.

조건부등식의 예 $3x+3<0$ ⇔ $x<-1$

기본적인 절대부등식

정수n , 임의의 실수 a,b 에 대하여 다음이 성립한다 (a+(-)b=0 일때 성립)

1. $a^{2}+(-)2ab+b^{2}\geq 0$(등호는 b=0 )
2. $a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca\geq 0$ (등호는 a=b=c=0 일때 성립)
3. $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq 0$ (등호는 a=b=c 일때 성립)

유명한 부등식

• 코시-슈바르츠 부등식
• 삼각 부등식
• 산술-기하 평균 부등식
• 마르코프 부등식
• 체비쇼프 부등식
• 민코프스키 부등식
• 연립 부등식
• 횔더 부등식