함자 (수학): 두 판 사이의 차이
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2015년 1월 31일 (토) 23:59 판
범주론에서 함자(函子, 영어: functor 펑크터[*])는 두 범주 사이의 함수에 해당하는 구조로, 대상을 대상으로, 사상을 사상으로 대응시킨다. 함자는 작은 범주의 범주의 사상으로 볼 수 있다.
함자의 개념은 대수적 위상수학에서 위상 공간에 대해 기본군 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 함자의 개념을 사용한다.
어원
‘독일어: Funktor 풍크토어[*]’라는 단어는 원래 철학자 루돌프 카르나프가 1934년에 언어철학에 대한 저서 《언어의 논리적 구문》(독일어: Logische Syntax der Sprache)에서 정의한 용어다.[1] 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 카르나프의 용어를 ‘영어: functor 펑크터[*]’로 수학에 차용하였다.[2]:20
정의
C와 D가 범주라 하자. 이때 C와 D 사이의 함자 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- C의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상
- C의 임의의 사상 에 대해 대응되는 D의 사상
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- (항등사상의 보존) 이다.
- (사상 합성의 보존) C의 임의의 사상 와 에 대해
즉, 함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다.
정의역과 공역이 같은 범주인 함자를 자기함자(自己函子, 영어: endofunctor 엔도펑크터[*])라고 한다.
공변함자와 반변함자
수학에서는 사상의 방향을 바꾸는 함자를 생각해야 하는 경우도 많이 있다. 따라서 F가 C에서 D로의 반변함자(反變函子, 영어: contravariant functor)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- C의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상
- C의 임의의 사상 에 대해 대응되는 D의 사상
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- (항등사상의 보존) 이다.
- (사상 합성의 반변) C의 임의의 사상 와 에 대해
즉, 반변함자가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀐다. 위에서 정의한 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 함자는 반변함자와 구분하기 위해 공변함자(共變函子, 영어: covariant functor)라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변함자를 것을 그 쌍대범주의 공변함자로서 정의할 수도 있다. 일부 저자들은 모든 함자를 공변적으로 서술하는 쪽을 선호하며, 따라서 가 반변함자라고 말하는 대신 (혹은 )가 (공변)함자라고 말한다.
예
상수 함자(영어: identity functor): C의 모든 대상에 대해 D의 특정한 대상 X를 대응시키고, C의 모든 사상에 대해 X 상의 항등사상을 대응시키는 함자를 상수 함자 혹은 선택 함자라고 한다.
대각 함자(영어: diagonal functor): D의 대상 X를 X 상의 상수 함자로 보내는 함자를 대각 함자라고 한다. 이는 D에서 함자 범주 DC로의 함자이다.
참고 문헌
- ↑ Carnap, Rudolf (1934). 《Logische Syntax der Sprache》.
- ↑ Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.
- Awodey, Steve (2010). 《Category Theory》. Oxford Logic Guides 49 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-958736-0. MR 2668552. Zbl 1194.18001.
- Barr, Michael; Charles Wells (2012). 《Category Theory for Computing Science》. Reprints in Theory and Applications of Categories 22 3판. MR 2981171. Zbl 1253.18001.
- Bucur, Ion; Aristide Deleanu (1968). 《Introduction to the theory of categories and functors》. Pure and Applied Mathematics 19. Wiley. MR 0236236. Zbl 0197.29205.
바깥 고리
- “Functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Functor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Functor”.