타원 적분 (Elliptic integral)은 역 삼각함수 의 일반화로 볼 수 있으며, 보다 광범위한 문제에 대한 이해를 제공한다.
예로, 원의 호 길이는 매개 변수의 간단한 함수로 주어 질수있지만 타원의 호 길이 계산에는 타원 적분을 필요로 하게 된다. 유사하게, 진자 의 위치는 작은 각 진동 에 대한 시간의 함수로서 삼각 함수에 의해 주어 지지만, 임의적으로 큰 변위에 대한 완전한 해에는 타원 적분의 사용이 필요하다. 전자기학 및 중력의 다른 많은 문제들도 타원 적분에 의해 해결된다.
타원 함수 로 알려진 함수의 매우 유용한 클래스는 타원 적분을 반전시켜 삼각 함수의 일반화를 얻음으로써 얻어진다.
타원 함수(야코비 타원 함수 와 바이어슈트라스 타원 함수 가 가장 일반적인 두 가지 형태의 클래스이다)는 수학의 다른 영역뿐만 아니라 수 이론에서 많은 심각한 문제를 분석하는 강력한 도구를 제공한다.
모든 타원 적분은 세 가지 "표준"유형으로 작성할 수 있다.
타원 적분의 세 가지 표준유형은 불완전한 유형과 완전한 유형을 각각 가지고 있다.
제
1
{\displaystyle 1}
종
F
{\displaystyle F}
의 불완전 타원 적분 은 다음과 같이 정의된다.
F
(
φ
,
k
)
=
F
(
φ
|
k
2
)
=
F
(
sin
φ
;
k
)
=
∫
0
φ
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
=
∫
0
φ
1
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
{\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{\varphi }{{1} \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}{d\theta }}
삼각 함수 형태 의 제
2
{\displaystyle 2}
종
E
{\displaystyle E}
의 불완전 타원 적분은 다음 과 같다.
E
(
φ
,
k
)
=
E
(
φ
|
k
2
)
=
E
(
sin
φ
;
k
)
=
∫
0
φ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
{\displaystyle E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }
제
3
{\displaystyle 3}
종
Π
{\displaystyle \Pi }
의 불완전 타원 적분은 다음과 같다.
Π
(
n
;
φ
∖
α
)
=
∫
0
φ
1
1
−
n
sin
2
θ
d
θ
1
−
(
sin
θ
sin
α
)
2
=
∫
0
φ
1
(
1
−
n
sin
2
θ
)
1
−
(
sin
θ
sin
α
)
2
d
θ
{\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{{1} \over {1-n\sin ^{2}\theta }}{{d\theta } \over {\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}=\int _{0}^{\varphi }{{1} \over {\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}}{d\theta }}
타원 적분은 진폭
φ
=
π
2
{\displaystyle \varphi ={{\pi } \over {2}}}
이므로, 따라서
x
=
1
{\displaystyle x=1}
일 때 '완전한'이라고 한다.
따라서 , 제
1
{\displaystyle 1}
종
K
{\displaystyle K}
의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의 될 수있다.
K
(
k
)
=
∫
0
π
2
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
=
∫
0
1
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
=
∫
0
1
1
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
d
t
{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}=\int _{0}^{1}{1 \over {\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}{dt}}
제
2
{\displaystyle 2}
종
E
{\displaystyle E}
의 완전한 타원 적분 은 다음과 같이 정의된다.
E
(
k
)
=
∫
0
π
2
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
=
∫
0
1
1
−
k
2
t
2
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt}
제
3
{\displaystyle 3}
종의
Π
{\displaystyle \Pi }
의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의 될 수있다.
Π
(
n
,
k
)
=
∫
0
π
2
d
θ
(
1
−
n
sin
2
θ
)
1
−
k
2
sin
2
θ
=
∫
0
π
2
1
(
1
−
n
sin
2
θ
)
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
{\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\int _{0}^{{\pi } \over {2}}{{1} \over {\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}{d\theta }}
르장드르 관계식 (Legendre's relation)
K
(
k
)
E
(
1
−
k
2
)
+
E
(
k
)
K
(
1
−
k
2
)
−
K
(
k
)
K
(
1
−
k
2
)
=
π
2
{\displaystyle K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}