수학에서 차(次, degree) 또는 차수(次數, exponent)는 문자를 포함한 항에서 문자가 곱해진 개수를 의미한다. 어떤 대상이 가진 성질의 정도를 나타내는 것으로 보통 이차방정식이나 삼차방정식, 이차확대체처럼 다항식의 종류나 확대체의 종류를 나타낼 때 자주 쓰인다.
다항식의 차수[편집]
다항식을 동류항끼리 계산하여 간단히 하는 것을 "다항식을 정리한다"라고 한다. 다항식을 어떤 문자에 대해 정리하였을 때, 그 문자의 가장 큰 거듭제곱 지수를 그 다항식의 차수라 한다. 다항식
의 차수는 보통
로 나타낸다.
예를 들어,
의 차수는 2이므로, 이 다항식은 2차식이다. 다항식
은
을 포함하고 있지만, 동류항을 묶어 식을 정리하면
![{\displaystyle (x^{3}+2x^{2}+3)-(x^{3}+2x+3)=2x^{2}-2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046d8daeff94ddf19ee306879ce770d8aebe6e87)
이므로, 이 다항식의 차수는 2이다.
문자가 여러 개인 다항식의 차수[편집]
두 개 이상의 문자에 대한 다항식은, 각 항마다 각 문자에 대한 지수를 더하여 생각한다.
예를 들어, 두 문자
와
에 대한 다항식
에서 각 항의 차수는 다음과 같다.
항 |
( 의 지수)+( 의 지수)
|
![{\displaystyle x^{2}y^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655344498f6a8ab66b268cb44d9cc5c852ba6a5a) |
5
|
![{\displaystyle x^{3}=x^{3}y^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752b19fcdae62b5df7f1c8c6b8f8ad18c199f15b) |
3
|
![{\displaystyle y^{4}=x^{0}y^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce6ffe49ac60077b2ff136e84734b5fbc6ef067) |
4
|
![{\displaystyle 1=x^{0}y^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a2ac56f49af82e1ab5a54ba5a3e183617ba5c5) |
0
|
가장 큰 값이 5이므로, 이 다항식의 차수는 5가 된다.
차수의 성질[편집]
일반적으로 두 다항식
와
에 대하여 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42aa2adf62565865d6c53a6775c0306cda15d9ab)
![{\displaystyle \deg(fg)=\deg \,f+\deg \,g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfba7c8bea9798b615ecdc23c34f3f3a1086d047)
예를 들어,
일 때,
![{\displaystyle f(x)+g(x)=x^{2}+x+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92d7f05e99ef5e3143b051e13c3df9169f33119)
![{\displaystyle f(x)g(x)=x^{3}+2x^{2}+x+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283ab46d0c3eb0373ac55ce5b307a596d3e839e5)
이므로 위의 성질이 성립한다.
상수의 차수는 0이지만, 예외적으로 상수 0의 차수를
로 생각하면 편리한 경우가 많다. 이 경우, 임의의 음이 아닌 정수
에 대하여
![{\displaystyle -\infty <a,\ -\infty +a=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a805a5f8f523cb7664a14084d9f8d41884227715)
이므로 차수에 대한 위의 두 성질이 다항식에 0을 더하거나 곱하는 경우에도 성립한다.
확대체의 차수[편집]
체
와 그 확대체
에 대하여,
를
위에서 정의된 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이때
의 차원
을 확대체
의
에 대한 차수라 하며
로 나타낸다. 예를 들어
이므로
는
의 이차확대체이다.
무향 그래프에서, 한 꼭짓점에 이어져있는 변의 개수
위상수학에서의 차수[편집]