이하라 제타 함수

수학에서 이하라 제타 함수(영어: Ihara zeta function)는 유한 그래프와 관련된 제타 함수이다. 이 함수는 셀베르그 제타 함수 와 매우 유사하며 인접 행렬의 스펙트럼에 그래프의 순환을 관련시키는 데 사용된다. 이하라 제타 함수는 1960년대 일본의 수학자 이하라 야스타카가 2x2 p-진 특수 선형군의 이산 부분 군의 맥락에서 처음 정의했다. 장-피에르 세르는 그의 저서 Trees 에서 이하라의 원래 정의를 그래프 이론적으로 재해석할 수 있다고 제안했다. 이 제안을 1985년에 실행에 옮긴 것은 스나다 토시카즈 였다. 수나다가 관찰한 바와 같이 정규 그래프는 이하라 제타 함수가 리만 가설의 아날로그를 충족하는 경우에만 라마누잔 그래프이다.

정의

이하라 제타 함수는 다음 무한 곱의 해석적 연속으로 정의된다.

$\zeta _{G}\left(u\right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-u^{\mathrm {L} (p)}}}$

이 곱은 그래프 $G=(V,E)$의 모든 닫힌 소 측지선 $p$에 대한 곱이다. 여기서 순환 회전에 의해 다른 측지선은 동일한 것으로 본다. $G$의 닫힌 측지선 (그래프 이론에서 "순환"으로 알려짐) $p$는 다음 조건이 성립하는 꼭지점들로 이뤄진 유한 열 $p=(v_{0},\ldots ,v_{k-1})$이다:

$(v_{i},v_{(i+1){\bmod {k}}})\in E,$

$v_{i}\neq v_{(i+2){\bmod {k}}}.$

정수 $k$는 $p$의 길이 $L(p)$이다. 닫힌 측지선을 $m$번($m>1$) 반복하여 얻을 수 없는 닫힌 측지선 $p$를 소 측지선이라고 한다.

이 그래프 이론적 정의는 수나다가 하였다.

이하라의 공식

이하라(및 그래프 이론적 정의의 수나다)는 정규 그래프의 경우 제타 함수가 유리 함수임을 보여주었다. 만약에 $G$가 $q+1$-인접 행렬 $A$를 가지는 정규 그래프이면

$\zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{r(G)-1}\det(I-Au+qu^{2}I)}}\$

여기서 $r(G)$는 $G$의 회로 랭크이다. $G$가 연결되어 있고 $n$개의 꼭지점을 가지면, $r(G)-1=(q-1)n/2$ .

이하라 제타 함수는 항상 그래프 다항식의 역수이다:

$\zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~,$

여기서 $T$는 기이치로 하시모토의 모서리 인접 연산자이다. 하이먼 배스는 인접 연산자와 관련된 결정 공식을 제공했다.

응용

이하라 제타 함수는 자유군, 스펙트럼 그래프 이론, 동적 계 이론, 특히 기호 동적 계 연구에서 중요한 역할을 한다. 여기서 이하라 제타 함수는 루엘 제타 함수의 예이다.

각주

• Ihara, Yasutaka (1966). “On discrete subgroups of the two by two projective linear group over ${\mathfrak {p}}$-adic fields”. 《Journal of the Mathematical Society of Japan》 18: 219–235. doi:10.2969/jmsj/01830219. MR 0223463. Zbl 0158.27702. 
• Sunada, Toshikazu (1986). 〈L-functions in geometry and some applications〉. 《Curvature and Topology of Riemannian Manifolds》. Lecture Notes in Mathematics 1201. 266–284쪽. doi:10.1007/BFb0075662. ISBN 978-3-540-16770-9. Zbl 0605.58046. 
• Bass, Hyman (1992). “The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice”. 《International Journal of Mathematics》 3 (6): 717–797. doi:10.1142/S0129167X92000357. MR 1194071. Zbl 0767.11025. 
• Stark, Harold M. (1999). 〈Multipath zeta functions of graphs〉. Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; Odlyzko, Andrew M. 《Emerging Applications of Number Theory》. IMA Vol. Math. Appl. 109. Springer. 601–615쪽. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0988.11040. 
• Terras, Audrey (1999). 〈A survey of discrete trace formulas〉. Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; Odlyzko, Andrew M. 《Emerging Applications of Number Theory》. IMA Vol. Math. Appl. 109. Springer. 643–681쪽. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0982.11031. 
• Terras, Audrey (2010). 《Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 128. Cambridge University Press. ISBN 0-521-11367-9. Zbl 1206.05003.