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이하라 제타 함수

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수학에서 이하라 제타 함수(영어: Ihara zeta function)는 유한 그래프와 관련된 제타 함수이다. 이 함수는 셀베르그 제타 함수 와 매우 유사하며 인접 행렬의 스펙트럼에 그래프의 순환을 관련시키는 데 사용된다. 이하라 제타 함수는 1960년대 일본의 수학자 이하라 야스타카2x2 p-진 특수 선형군이산 부분 군의 맥락에서 처음 정의했다. 장-피에르 세르는 그의 저서 Trees 에서 이하라의 원래 정의를 그래프 이론적으로 재해석할 수 있다고 제안했다. 이 제안을 1985년에 실행에 옮긴 것은 스나다 토시카즈 였다. 수나다가 관찰한 바와 같이 정규 그래프는 이하라 제타 함수가 리만 가설의 아날로그를 충족하는 경우에만 라마누잔 그래프이다.[1]

정의

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이하라 제타 함수는 다음 무한 곱의 해석적 연속으로 정의된다.

이 곱은 그래프 의 모든 닫힌 소 측지선 에 대한 곱이다. 여기서 순환 회전에 의해 다른 측지선은 동일한 것으로 본다. 의 닫힌 측지선 (그래프 이론에서 "순환"으로 알려짐) 는 다음 조건이 성립하는 꼭지점들로 이뤄진 유한 열 이다:

정수 길이 이다. 닫힌 측지선을 번() 반복하여 얻을 수 없는 닫힌 측지선 소 측지선이라고 한다.

이 그래프 이론적 정의는 수나다가 하였다.

이하라의 공식

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이하라(및 그래프 이론적 정의의 수나다)는 정규 그래프의 경우 제타 함수가 유리 함수임을 보여주었다. 만약에 -인접 행렬 를 가지는 정규 그래프이면[2]

여기서 의 회로 랭크이다. 가 연결되어 있고 개의 꼭지점을 가지면, .

이하라 제타 함수는 항상 그래프 다항식의 역수이다:

여기서 는 기이치로 하시모토의 모서리 인접 연산자이다. 하이먼 배스는 인접 연산자와 관련된 결정 공식을 제공했다.

응용

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이하라 제타 함수는 자유군, 스펙트럼 그래프 이론, 동적 계 이론, 특히 기호 동적 계 연구에서 중요한 역할을 한다. 여기서 이하라 제타 함수는 루엘 제타 함수의 예이다.[3]

각주

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  1. Terras (1999) p. 678
  2. Terras (1999) p. 677
  3. Terras (2010) p. 29