본문으로 이동

요네다 보조정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

범주론에서 요네다 보조정리([米田]補助定理, 영어: Yoneda lemma)는 특정한 범주집합 값의 함자 범주에 묻는 함자를 만들 수 있게 하는 보조정리다. 군론케일리의 정리를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학표현론에서 중요하게 쓰인다.

보조정리

[편집]

국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 (집합의 범주).

이 함자에서, 사상 은 다음과 같다.

마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 (반대 범주).

그리고 함자 가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 따르면, 모든 대상 에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

이 때,

  • 은 모든 자연 변환 들의 집합이다.
  • 이다.

위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.

이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 (함자 자연 변환의 범주).[1]:61

즉, 위 일대일 대응들은 이 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상 의 상은 다음과 같다.

두 번째 함자에서, 사상 의 상은 다음과 같다.

마찬가지로, 모든 함자 및 대상 에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

이 때

  • 자연 변환 들의 집합이다.
  • 이다.

일대일 대응

들은 함자

사이의 자연 동형을 이룬다.

증명

[편집]

쌍대성에 따라, 함자 인 경우를 증명하면 충분하다. (의 경우, 를 그 반대 범주로 대체한다.)

임의의 자연 변환 에 대해 를 생각할 수 있다. 함자를 의 원소로 옮겨야 하고, 이므로, 임을 알 수 있다.

이제, 모든 에 대해 인 유일한 자연 변환 를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(영어: diagram chasing)를 사용하여 증명할 수 있다.

자연 변환

은 자명하게 를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로, 를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해, 의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.

요네다 매장

[편집]

국소적으로 작은 범주 가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상 와 함자 를 대입하면 다음 전단사 함수를 얻는다.

사실, 이는 함자 범주 로 가는 함자

를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자이다. 다시 말해, 이 함자는 범주 를 그 성질 그대로 안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 요네다 매장([米田]埋藏, 영어: Yoneda embedding)이라고 부른다.

마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수

전단사 함수이며, 다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다.

역사

[편집]

일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.[2]

각주

[편집]
  1. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-0-387-98403-2. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 
  2. Nobuo, Yoneda (1954). “On the homology theory of modules”. 《Journal of the Faculty of Science of the University of Tokyo. Section I》 (영어) 7: 193–227. Zbl 0058.01902. 

외부 링크

[편집]

같이 보기

[편집]