영의 부등식(Young's inequality, -不等式)은 영국의 수학자인 윌리엄 헨리 영이 제시한 부등식이다. 이 부등식은 옌센 부등식 및 민코프스키의 적분부등식에 의해 얻을 수 있으며, 횔더 부등식을 증명하는 데 이용된다. 크게 초등적 형태와 합성곱 형태의 두 종류가 있다.
a와 b를 음이 아닌 실수라 하자. 그리고 양의 실수 p, q가
을 만족한다고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.[1]
![{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e422fce8a2982b6c59153aafdbf850e79ae8dbf6)
이 부등식은 횔더 부등식을 증명하는 데 이용된다.
이 형태의 증명에서는 로그함수가 오목함수임을 이용한다. 오목성에 의해 옌센 부등식을 적용하면 다음을 얻는다.
![{\displaystyle \ln \left({\frac {1}{p}}a^{p}+{\frac {1}{q}}b^{q}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln {a^{p}}+{\frac {1}{q}}\ln {b^{q}}=\ln(ab).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1427aed000c5dcfd49aea86811826bcd4f74bd03)
n개의 양수
가
을 만족할 때, n개의 음이 아닌 실수
에 대하여 다음 부등식이 성립한다.[2] 일반화한 이 형태 역시 옌센 부등식에 의해 얻을 수 있다.
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}t_{i}^{a_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae4f37217529fe190526ad44bd296ccd8c154c9)
[0, c]에서 실수로 가는 연속이고 f(0) = 0인 강증가함수 f에 대해 f의 역함수를
이라 하면, 다음 부등식이 성립한다.
![{\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b1f3f3f21a4a5ed02fd411549b62130e52782a)
여기서
이고
이다.
이고
이라 하자.
라 하면
이고, 다음 부등식이 성립한다.[3]
![{\displaystyle ||f*g||_{r}\leq ||f||_{p}||g||_{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e47ab98bf85bca39cd336c5b9dc04e0e02a7b7d)
이 부등식을 얻기 위해서는 민코프스키의 적분부등식을 이용해야 한다.
- ↑ 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002, 68쪽.
- ↑ 같은 책, 67쪽.
- ↑ 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002, 279쪽.
- 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002
- 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002