아핀 좌표계

아핀 기하학에서 아핀 좌표계(영어: affine coordinate system)은 유한 차원 아핀 공간 속의 모든 점들을 스칼라 튜플에 일대일 대응시키는 방법이다. 수반되는 벡터 공간의 기저와 원점의 선택에 의하여 결정된다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 아핀 공간 $A$의 유한 부분 집합 $\{a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}\}\subseteq A$가 다음 두 조건을 만족시키면, 이를 아핀 공간 $A$의 아핀 틀(영어: affine frame)이라고 한다.

• (아핀 독립) 즉, $\{a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}\}$로 생성되는 부분 아핀 공간의 차원은 $d$이다.
• (아핀 생성) $\{a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}\}$로 생성되는 부분 아핀 공간은 $A$ 전체이다.

특히, 이 경우 $d$는 $A$의 차원이다.

체 $K$ 위의 유한 차원 아핀 공간 $A$의 아핀 틀 $\{a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}\}\subseteq A$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\{a_{1}-a_{0},\dots ,a_{d}-a_{0}\}$

은 평행 이동의 벡터 공간 $V(A)$의 기저를 이룬다. 즉, 임의의 점 $a\in A$에 대하여, 다음을 만족시키는 스칼라들 $\lambda _{1}(a),\dots ,\lambda _{d}(a)\in K$가 존재한다.

$a-a_{0}=\sum _{k=1}^{d}\lambda _{k}(a)(a_{k}-a_{0})$

이 경우 스칼라 튜플 $(\lambda _{1}(a),\dots ,\lambda _{d}(a))$를 아핀 틀 $\{a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}\}$에 대한 점 $a$의 아핀 좌표(영어: affine coordinate)라고 하며, 이렇게 정의된 전단사 아핀 변환

$(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{d})\colon A\to K^{d}$

를 아핀 틀 $\{a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}\}$에 대한 $A$ 위의 아핀 좌표계라고 한다.

참고 문헌

• Audin, Michèle (2003). 《Geometry》. Universitext (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939. 
• Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939. 

외부 링크

• “Affine coordinate frame”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Affine coordinates”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.