해석학에서 아벨 극한 정리(-極限定理, 영어: Abel's limit theorem)는 수렴 영역의 어떤 경계점에서 수렴하는 멱급수의 성질에 대한 정리이다.[1]:41-42, §2.5
중심이 0인 실수 멱급수
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6769d6b0bbb5fe038d0373924ee7bf6341b4819)
의 수렴 반지름이
이라고 하자. 아벨 극한 정리에 따르면, 만약
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3bc13748a7110de269822f965c521ca43c602f)
이 수렴한다면, 다음이 성립한다.[2]:177, §20, Theorem 100
![{\displaystyle \lim _{x\to r^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829ebf699ec818eb40e9c353bc588ab49bcd5537)
또한, 만약
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(-r)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609519a479714e5cf6be2f09a9af985d81ebd910)
이 수렴한다면, 다음이 성립한다.[2]:178, §20
![{\displaystyle \lim _{x\to (-r)^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(-r)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad673936b693c87ca80ed162ebe794b1783017dc)
편의상
이고[3]:220, §11.2
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af34647e168beb46e51ff2e4547712cf3f9d4ad)
이 수렴한다고 가정하자. 이 경우 멱급수가
에서 균등 수렴함을 보이는 것으로 족하다. 두 함수열
를 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle f_{n}(x)=a_{n}\qquad (x\in [0,1],\;n\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fced592e7d0d7a79585dd3f4ea3c9ff4f10d2da5)
![{\displaystyle g_{n}(x)=x^{n}\qquad (x\in [0,1],\;n\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c81480eca41711bb3f452722fe6226d8a4786fe)
그렇다면,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fb0f2281b1b3277afa0f0f3ecceb5e23483278)
는
에서 균등 수렴하고, 임의의
에 대하여,
는 감소 수열이다. 또한, 임의의
및
에 대하여,
![{\displaystyle |g_{n}(x)|\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5eeeb9750b0fc56ba09df772b18c87fbc41ead)
이다. 아벨 판정법에 의하여,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82878ea42a715a3975b6d5937c289d8d98dea49)
은
에서 균등 수렴한다.
따름정리[편집]
아벨 극한 정리에 따라, 만약 실수 멱급수가 수렴 구간의 오른쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 좌연속 함수이고, 왼쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 우연속 함수이다. 즉, 실수 멱급수는 전체 수렴 구간에서 연속 함수이다.[3]:221, §11.2, 따름정리2 그러나, 복소수 멱급수는 수렴 영역의 경계점에서 수렴하더라도, 이 경계점에서 연속 함수가 아닐 수 있다.
아벨 극한 정리는 급수를 적분으로 변환시켜 구할 때 종종 이용된다. 이는 아벨의 합 공식이 이상 적분을 변수를 포함하는 이상 적분의 극한으로 변환시켜 구하는 것과 비슷하다. 예를 들어, 급수
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}=1-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af2f274a5eb9d5c5f25ee98b8de5db16db30e6d)
를 계산해 보자. (이 급수는 교대급수 판정법에 의하여 수렴한다.) 다음과 같은 함수
를 정의하자.
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{3n+1}}{3n+1}}\qquad (x\in [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff5e228034c0babfaafd56a7536a5623488a301)
그렇다면, 아벨 극한 정리에 의하여
는 연속 함수이다. 임의의
에 대하여
![{\displaystyle f'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{3n}={\frac {1}{1+x^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a71f2f9c65c0d473a84f3208b1bc8f2bfd96485)
이므로, 임의의
에 대하여
![{\displaystyle f(x)=f(0)+\int _{0}^{x}f'(x)\mathrm {d} x={\frac {1}{6}}\ln {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-x+1}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}+{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24e980e1f42d18f4c466c18de56c1103811b08e)
이다. 따라서,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}=f(1)=\lim _{x\to 1^{-}}f(x)={\frac {1}{3}}\ln 2+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28350420d1aa93b9d4a1a2206a75dfc3fa24245b)
이다.
일반화[편집]
경계점에서 무한대로 발산하는 경우[편집]
중심이 0이고 모든 계수가 음이 아닌 실수인 멱급수
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d89a200f842e77ee522c53b882e49a9a3f2115)
의 수렴 반지름이
이고,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a885dcc2a7164daff97f248edad4184985ab6f)
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2]:178, §20
![{\displaystyle \lim _{x\to r^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fc84c57e49a0299c71ee795563e58ded6d43d3)
경계점에서 수렴하지 않는 경우[편집]
중심이 0인 실수 멱급수
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6769d6b0bbb5fe038d0373924ee7bf6341b4819)
의 수렴 반지름이
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2]:189, Exercise 70
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}r^{k}\leq \limsup _{x\to r^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\leq \limsup _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}r^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081e10a61de94c5c4918854b2917bc0940a33f7a)
복소수의 경우[편집]
중심이 0인 복소수 멱급수
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb0deb8132a113dde0a01e03dec7c917aa94c49)
의 수렴 반지름이
이고,
인 어떤
에 대하여
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\zeta ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461e4123a345c2422c8ffb8557e8e5e56383ed8a)
이 수렴한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(t\zeta )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\zeta ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11fe91be1c610bb735def1c5836ab840a122379e)
보다 일반적으로, 곡선
가 다음을 만족시킨다고 하자. (여기서
은 열린 공이다.)
![{\displaystyle \gamma (1)=\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fad10041d301a9f2f673bdd127713cb369cd617)
![{\displaystyle \sup _{t\in [0,1)}{\frac {|\zeta -\gamma (t)|}{|\zeta |-|\gamma (t)|}}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22799ef43a9326c8c46b469dac9116fefb75ecd9)
그렇다면, 다음이 성립한다.[1]:41, §2.5, Theorem 3
![{\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\gamma (t)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\zeta ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffc6ce98fefb193b288d85bc7a50021e251daed)
독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스가 처음 제시하였다. 그러나 가우스가 제시한 증명은 증명되지 않은 결론을 사용하는 오류를 포함한다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 땄다.
- ↑ 가 나 Ahlfors, Lars V. (1979). 《Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-1-259-06482-1.
- ↑ 가 나 다 라 Knopp, Konrad (1954). 《Theory and Application of Infinite Series》 (영어). 번역 Young, R. C. H. 2판. Glasgow: Blackie & Son.
- ↑ 가 나 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]