일반 상대성 이론 에서, 슈바르츠실트 해 는 중력장 방정식 의 한 해로, 거대하고 회전하지 않는 구형 대칭 물체의 영향을 받는 시공간 을 설명한다. 이 해는 중력장 방정식 에 대한 가장 단순하고 가장 유용한 해 중 하나로 여겨진다. 독일 물리학자 카를 슈바르츠실트 가 1916년 1월에 발표하였다.
각각 1에서 4로 아래 첨자가 지정된
(
r
,
θ
,
ϕ
,
t
)
{\displaystyle \left(r,\theta ,\phi ,t\right)}
좌표를 쓰는 좌표 조각에서 가장 일반적인 형태(각각 매끄러운 4 변수 함수인 10개의 독립적인 성분)의 계량으로 시작하자. 해는 구형 대칭을 가지고 정적인 진공으로 가정된다. 이 문서의 목적을 위해 이러한 가정은 다음과 같이 명시될 수 있다(정확한 정의는 관련 링크 참조).
구형 대칭 시공간은 회전과 반사에 대해 변하지 않는 시공간이다.
정적 시공간은 모든 계량 성분이 시각 좌표
t
{\displaystyle t}
와 독립적인 시공간이다.(즉,
∂
∂
t
g
μ
ν
=
0
{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0}
) 그리고, 시공간의 기하학은 시각 반전
t
→
−
t
{\displaystyle t\rightarrow -t}
에 대해 변경되지 않는다. .
진공 해는 방정식
T
a
b
=
0
{\displaystyle T_{ab}=0}
을 만족하는 해이다. 우주 상수 가 0인 중력장 방정식 으로부터. 이는 축약
R
a
b
−
R
2
g
a
b
=
0
{\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0}
이
R
=
0
{\displaystyle R=0}
이기 때문에
R
a
b
=
0
{\displaystyle R_{ab}=0}
을 의미한다.
여기에 사용된 계량 부호수 은
(
+
,
+
,
+
,
−
)
{\displaystyle (+,+,+,-)}
이다.
첫 번째 단순화는 계량을 대각화하는 것이다. 좌표 변환
(
r
,
θ
,
ϕ
,
t
)
→
(
r
,
θ
,
ϕ
,
−
t
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)}
에 대해 모든 계량 성분은 동일하게 유지되어야 한다. 계량 성분
g
μ
4
{\displaystyle g_{\mu 4}}
(
μ
≠
4
{\displaystyle \mu \neq 4}
)은 이 변환에서
g
μ
4
′
=
∂
x
α
∂
x
′
μ
∂
x
β
∂
x
′
4
g
α
β
=
−
g
μ
4
{\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}}
(
μ
≠
4
{\displaystyle \mu \neq 4}
)
과 같이 변한다. 하지만,
g
μ
4
′
=
g
μ
4
{\displaystyle g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}}
이 성립한다. (계량 성분은 동일하게 유지된다.) 이는
g
μ
4
=
0
{\displaystyle g_{\mu 4}=\,0}
(
μ
≠
4
{\displaystyle \mu \neq 4}
)
을 의미한다. 마찬가지로 두 좌표 변환
(
r
,
θ
,
ϕ
,
t
)
→
(
r
,
θ
,
−
ϕ
,
t
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)}
과
(
r
,
θ
,
ϕ
,
t
)
→
(
r
,
−
θ
,
ϕ
,
t
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)}
로 부터.
g
μ
3
=
0
{\displaystyle g_{\mu 3}=\,0}
(
μ
≠
3
{\displaystyle \mu \neq 3}
)
g
μ
2
=
0
{\displaystyle g_{\mu 2}=\,0}
(
μ
≠
2
{\displaystyle \mu \neq 2}
)
를 얻는다. 이 모든 것을 합치면 다음이 성립한다:
g
μ
ν
=
0
{\displaystyle g_{\mu \nu }=\,0}
(
μ
≠
ν
{\displaystyle \mu \neq \nu }
).
따라서, 계량은 다음과 같은 형식이어야 한다:
d
s
2
=
g
11
d
r
2
+
g
22
d
θ
2
+
g
33
d
ϕ
2
+
g
44
d
t
2
{\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}
여기서 4개 계량 성분은 정적이라는 가정에 의해 시각 좌표
t
{\displaystyle t}
와 독립적이다.
t
{\displaystyle t}
,
θ
{\displaystyle \theta }
,
ϕ
{\displaystyle \phi }
를 각각 상수로 두었을 때 (즉, 각 방사형 선에서) 이에 해당하는 각 초곡면 에서, 구형 대칭 가정 때문에
g
11
{\displaystyle g_{11}}
는
r
{\displaystyle r}
에 대해서만 변한다. 따라서
g
11
{\displaystyle g_{11}}
는 일변수 함수이다.
g
11
=
A
(
r
)
{\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}
g
44
{\displaystyle g_{44}}
에 대해서도 비슷한 방법으로
g
44
=
B
(
r
)
{\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}
를 얻는다.
t
{\displaystyle t}
가 상수인 초곡면과
r
{\displaystyle r}
이 상수인 초곡면에서, 계량은 2차원 구의 계량이어야 한다.
d
l
2
=
r
0
2
(
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
ϕ
2
)
{\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}
이러한 초곡면(반지름
r
0
{\displaystyle r_{0}}
) 중 하나를 선택한다. 예를 들어, 이 초곡면으로 제한된 계량 성분(우리는
g
~
22
{\displaystyle {\tilde {g}}_{22}}
그리고
g
~
33
{\displaystyle {\tilde {g}}_{33}}
)는 다음을 통한 회전에서 변경되지 않아야 한다.
θ
{\displaystyle \theta }
그리고
ϕ
{\displaystyle \phi }
(다시, 구형 대칭에 의해). 이 초곡면에서 계량의 형식을 비교하면 다음이 제공된다.
g
~
22
(
d
θ
2
+
g
~
33
g
~
22
d
ϕ
2
)
=
r
0
2
(
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
ϕ
2
)
{\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}
즉시 다음 결과를 얻는다:
g
~
22
=
r
0
2
{\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}
그리고
g
~
33
=
r
0
2
sin
2
θ
{\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }
.
그러나 이것은 각 초곡면을 유지하는 데 필요하다. 그 후,
g
22
=
r
2
{\displaystyle g_{22}=\,r^{2}}
그리고
g
33
=
r
2
sin
2
θ
{\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }
.
g
22
{\displaystyle g_{22}}
와
g
33
{\displaystyle g_{33}}
가 평탄한 시공간에서와 같아야함을 직관적으로 볼 수 있는 대안적인 길은, 탄성 물질을 구형 대칭으로 급격하게 늘리거나 압축해도 두 점 사이의 각도 거리가 변경되지 않는다는 점에 주목하는 것이다.
따라서 계량은 다음 형식으로 놓을 수 있다.
d
s
2
=
A
(
r
)
d
r
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
ϕ
2
+
B
(
r
)
d
t
2
{\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}
여기서
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
는
r
{\displaystyle r}
을 변수로 하는 아직 정의되지 않은 함수이다. 만약
A
{\displaystyle A}
또는
B
{\displaystyle B}
가 어떤 점에서 0이면, 계량은 해당 점에서 특이점 을 갖는다.
위의 계량을 사용하여 첨자가
(
1
,
2
,
3
,
4
)
=
(
r
,
θ
,
ϕ
,
t
)
{\displaystyle (1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)}
과 같은 크리스토펠 기호 를 찾는다.
′
{\displaystyle '}
표시는 함수의 전체 도함수를 나타낸다.
Γ
i
k
1
=
[
A
′
/
(
2
A
)
0
0
0
0
−
r
/
A
0
0
0
0
−
r
sin
2
θ
/
A
0
0
0
0
−
B
′
/
(
2
A
)
]
{\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}}
Γ
i
k
2
=
[
0
1
/
r
0
0
1
/
r
0
0
0
0
0
−
sin
θ
cos
θ
0
0
0
0
0
]
{\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}
Γ
i
k
3
=
[
0
0
1
/
r
0
0
0
cot
θ
0
1
/
r
cot
θ
0
0
0
0
0
0
]
{\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}
Γ
i
k
4
=
[
0
0
0
B
′
/
(
2
B
)
0
0
0
0
0
0
0
0
B
′
/
(
2
B
)
0
0
0
]
{\displaystyle \Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}}
장 방정식을 사용하여 A(r)와 B(r) 찾기[ 편집 ]
A
{\displaystyle A}
와
B
{\displaystyle B}
를 결정하기 위해, 진공 장 방정식
R
α
β
=
0
{\displaystyle R_{\alpha \beta }=\,0}
이 사용된다. 따라서,
Γ
β
α
,
ρ
ρ
−
Γ
ρ
α
,
β
ρ
+
Γ
ρ
λ
ρ
Γ
β
α
λ
−
Γ
β
λ
ρ
Γ
ρ
α
λ
=
0
{\displaystyle {\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=0\ }
이다. 여기서 아래 첨자에 있는 쉼표는 미분에 사용되는 좌표를 나타내는 데 사용된다. 리치 곡률은 주어진 좌표에서 대각이다.
R
t
t
=
−
1
4
B
′
A
(
A
′
A
−
B
′
B
+
4
r
)
−
1
2
(
B
′
A
)
′
,
{\displaystyle R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)^{'}\,,}
R
r
r
=
−
1
2
(
B
′
B
)
′
−
1
4
(
B
′
B
)
2
+
1
4
A
′
A
(
B
′
B
+
4
r
)
,
{\displaystyle R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)\,,}
R
θ
θ
=
1
−
(
r
A
)
′
−
r
2
A
(
A
′
A
+
B
′
B
)
,
{\displaystyle R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right)\,,}
R
ϕ
ϕ
=
sin
2
(
θ
)
R
θ
θ
{\displaystyle R_{\phi \phi }=\sin ^{2}(\theta )R_{\theta \theta }}
여기서
′
{\displaystyle '}
은 각 함수의
r
{\displaystyle r}
에 대한 도함수를 의미한다.
장 방정식 중 3개만이 자명하지 않으며 단순화하면 다음과 같다.
4
A
′
B
2
−
2
r
B
″
A
B
+
r
A
′
B
′
B
+
r
B
′
2
A
=
0
,
{\displaystyle 4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0\,,}
r
A
′
B
+
2
A
2
B
−
2
A
B
−
r
B
′
A
=
0
,
{\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0\,,}
−
2
r
B
″
A
B
+
r
A
′
B
′
B
+
r
B
′
2
A
−
4
B
′
A
B
=
0
{\displaystyle -2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0}
(네 번째 방정식은 두 번째 방정식 양변에
sin
2
θ
{\displaystyle \sin ^{2}\theta }
곱한 식이다.) 첫 번째 방정식과 세 번째 방정식을 빼면 다음을 얻는다:
A
′
B
+
A
B
′
=
0
⇒
A
(
r
)
B
(
r
)
=
K
{\displaystyle A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}
여기서
K
{\displaystyle K}
는 0이 아닌 실수 상수이다.
A
(
r
)
B
(
r
)
=
K
{\displaystyle A(r)B(r)\,=K}
임을 두 번째 방정식에 적용해 정리하면
r
A
′
=
A
(
1
−
A
)
{\displaystyle rA'=A(1-A)}
을 얻고, 이 방정식은 0이 아닌 실 상수
S
{\displaystyle S}
에 대해 일반적인 해
A
(
r
)
=
(
1
+
1
S
r
)
−
1
{\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}
를 가진다. 따라서 정적인 구형 대칭 진공 해에 대한 계량은
d
s
2
=
(
1
+
1
S
r
)
−
1
d
r
2
+
r
2
(
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
ϕ
2
)
+
K
(
1
+
1
S
r
)
d
t
2
.
{\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}.}
위의 계량으로 표현되는 시공간은 점근적으로 평탄 하다. 즉,
r
→
∞
{\displaystyle r\rightarrow \infty }
일 때 계량은 민코프스키 계량 에 접근하고 시공간 다양체는 민코프스키 공간 과 유사하다.
약한 장 근사법을 사용하여 K와 S 찾기[ 편집 ]
이 다이어그램은 약한 장 근사를 사용하여 슈바르츠실트 해를 찾는 경로를 제공한다. 두 번째 행의 등식은 모션이 블랙홀에서 멀리 떨어진 곳에서 발생할 때(
r
{\displaystyle r}
이 양의 무한대에 접근할 때) 원하는 해가 민코프스키 계량으로 퇴보한다고 가정하여
g
44
=
−
c
2
+
2
G
M
/
r
{\displaystyle g_{44}=-c^{2}+2GM/r}
을 제공한다.
계량의 측지선(여기서 얻은
d
s
{\displaystyle ds}
)는 어떤 극한(예: 빛의 속도를 무한대로 보내기)에서 뉴턴 운동의 해(예: 라그랑주 방정식 으로 구한 해)와 일치해야 한다. (계량은 나타내는 질량이 사라질 때 민코프스키 공간 으로 제한해야 한다.)
0
=
δ
∫
d
s
d
t
d
t
=
δ
∫
(
K
E
+
P
E
g
)
d
t
{\displaystyle 0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt}
여기서
K
E
{\displaystyle KE}
는 운동 에너지이고
P
E
g
{\displaystyle PE_{g}}
는 중력으로 인한 퍼텐셜 에너지이다. 상수
K
{\displaystyle K}
와
S
{\displaystyle S}
는 이 접근법의 일부 변형에 의해 완전히 결정된다. 약한 장 근사 에서 다음 결과에 도달한다:
g
44
=
K
(
1
+
1
S
r
)
≈
−
c
2
+
2
G
m
r
=
−
c
2
(
1
−
2
G
m
c
2
r
)
{\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}
여기서
G
{\displaystyle G}
는 중력 상수 이고,
m
{\displaystyle m}
는 중력원의 질량이고
c
{\displaystyle c}
는 빛의 속도이다. 그리고
K
=
−
c
2
,
1
S
=
−
2
G
m
c
2
{\displaystyle K=\,-c^{2},{\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}}
이므로
A
(
r
)
=
(
1
−
2
G
m
c
2
r
)
−
1
{\displaystyle A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}
그리고
B
(
r
)
=
−
c
2
(
1
−
2
G
m
c
2
r
)
{\displaystyle B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}
이 성립한다. 따라서 슈바르츠실트 계량 은 최종적으로 다음과 같이 적을 수 있다.
d
s
2
=
(
1
−
2
G
m
c
2
r
)
−
1
d
r
2
+
r
2
(
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
ϕ
2
)
−
c
2
(
1
−
2
G
m
c
2
r
)
d
t
2
{\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}}
한편,
2
G
m
c
2
=
r
s
{\displaystyle {\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{s}}
는 질량
m
{\displaystyle m}
인 물체에 대한 슈바르츠실트 반지름 의 정의이다. 따라서 슈바르츠실트 계량은 다음으로 대체하여 다시 적을 수 있다:
d
s
2
=
(
1
−
r
s
r
)
−
1
d
r
2
+
r
2
(
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
ϕ
2
)
−
c
2
(
1
−
r
s
r
)
d
t
2
{\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)dt^{2}}
이는 계량이 사건의 지평 에 접근하면서 (즉,
r
→
r
s
{\displaystyle r\rightarrow r_{s}}
) 특이점이 됨을 보여준다. 계량 특이점은 적절한 좌표 변환(예: 크루스칼-세케레스 좌표계)을 사용하여 특이점이 아니도록 표시할 수 있다. 따라서 계량 특이점은 물리적으로 중요한 해석을 가지지 않는다. 반면에,
r
=
0
{\displaystyle r=0}
에서 특이점은 중력 특이점 이라 부르며, 물리적으로 중요한 의미를 지닌다.
특수한 경우에 알려진 물리학을 사용한 대체적 유도[ 편집 ]
슈바르츠실트 계량은 원형 궤도 및 임시적으로 고정된 점질량에 대한 알려진 물리학을 사용하여 유도될 수도 있다.[ 1] 결정되지 않은
A
(
r
)
{\displaystyle A(r)}
와
B
(
r
)
{\displaystyle B(r)}
를 가진 다음 방정식에서 출발한다:
−
c
2
=
(
d
s
d
τ
)
2
=
A
(
r
)
(
d
r
d
τ
)
2
+
r
2
(
d
ϕ
d
τ
)
2
+
B
(
r
)
(
d
t
d
τ
)
2
.
{\displaystyle -c^{2}=\left({ds \over d\tau }\right)^{2}=A(r)\left({dr \over d\tau }\right)^{2}+r^{2}\left({d\phi \over d\tau }\right)^{2}+B(r)\left({dt \over d\tau }\right)^{2}.}
이제 오일러-라그랑주 방정식 을 호 길이 적분
J
=
∫
τ
1
τ
2
−
(
d
s
/
d
τ
)
2
d
τ
{\displaystyle {J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left({\text{d}}s/{\text{d}}\tau \right)^{2}}}\,{\text{d}}\tau }}
에 적용한다.
d
s
/
d
τ
{\displaystyle ds/d\tau }
가 상수이기 때문에, 피적분 함수를
(
d
s
/
d
τ
)
2
{\displaystyle ({\text{d}}s/{\text{d}}\tau )^{2}}
으로 대체할 수 있다. 오일러-라그랑주 방정식은 피적분 함수에 상수를 곱하면 정확히 동일하기 때문이다. 오일러-라그랑주 방정식을 수정된 피적분 함수로 바꾼
J
{\displaystyle J}
에 적용하면 다음을 얻는다:
A
′
(
r
)
r
˙
2
+
2
r
ϕ
˙
2
+
B
′
(
r
)
t
˙
2
=
2
A
′
(
r
)
r
˙
2
+
2
A
(
r
)
r
¨
0
=
2
r
r
˙
ϕ
˙
+
r
2
ϕ
¨
0
=
B
′
(
r
)
r
˙
t
˙
+
B
(
r
)
t
¨
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}}
여기서 위의 점은
τ
{\displaystyle \tau }
에 대한 미분을 나타낸다.
원형 궤도에서
r
˙
=
r
¨
=
0
{\displaystyle {\dot {r}}={\ddot {r}}=0}
이 성립하므로, 위의 첫 번째 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다:
2
r
ϕ
˙
2
+
B
′
(
r
)
t
˙
2
=
0
⇔
B
′
(
r
)
=
−
2
r
ϕ
˙
2
/
t
˙
2
=
−
2
r
(
d
ϕ
/
d
t
)
2
.
{\displaystyle 2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(d\phi /dt)^{2}.}
케플러의 행성 운동 제3법칙 은
T
2
r
3
=
4
π
2
G
(
M
+
m
)
.
{\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.}
주기
T
{\displaystyle T}
가
2
π
/
(
d
ϕ
/
d
t
)
{\displaystyle 2\pi /(d\phi /dt)}
인 원형 궤도에서 다음을 암시한다:
(
d
ϕ
d
t
)
2
=
G
M
/
r
3
{\displaystyle \left({d\phi \over dt}\right)^{2}=GM/r^{3}}
왜냐하면, 점 질량
m
{\displaystyle m}
을 중심 물체의 질량
M
{\displaystyle M}
에 비해 무시할 수 있기 때문이다. 그래서
B
′
(
r
)
=
−
2
G
M
/
r
2
{\displaystyle B'(r)=-2GM/r^{2}}
이고 이를 적분하면
B
(
r
)
=
2
G
M
/
r
+
C
{\displaystyle B(r)=2GM/r+C}
이다. 여기서
C
{\displaystyle C}
는 알 수 없는 적분 상수이다.
C
{\displaystyle C}
는
M
=
0
{\displaystyle M=0}
일 때를 설정하여 결정할 수 있다. 이 경우 시공간은 평평하고
B
(
r
)
=
−
c
2
.
{\displaystyle B(r)=-c^{2}.}
따라서
C
=
−
c
2
{\displaystyle C=-c^{2}}
이고
B
(
r
)
=
2
G
M
/
r
−
c
2
=
c
2
(
2
G
M
/
c
2
r
−
1
)
=
c
2
(
r
s
/
r
−
1
)
.
{\displaystyle B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{s}/r-1).}
이 된다. 점질량이 일시적으로 정지해 있을 때,
r
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {r}}=0}
이고
ϕ
˙
=
0.
{\displaystyle {\dot {\phi }}=0.}
원래 계량 방정식은
t
˙
2
=
−
c
2
/
B
(
r
)
{\displaystyle {\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)}
이 되며 위의 첫 번째 오일러-라그랑주 방정식은
A
(
r
)
=
B
′
(
r
)
t
˙
2
/
(
2
r
¨
)
{\displaystyle A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}})}
이 된다. 점질량이 일시적으로 정지해 있을 때,
r
¨
{\displaystyle {\ddot {r}}}
는 중력 가속도
−
M
G
/
r
2
{\displaystyle -MG/r^{2}}
이다. 그래서
A
(
r
)
=
(
−
2
M
G
r
2
)
(
−
c
2
2
M
G
/
r
−
c
2
)
(
−
r
2
2
M
G
)
=
1
1
−
2
M
G
/
(
r
c
2
)
=
1
1
−
r
s
/
r
.
{\displaystyle A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{s}/r}}.}
계량의 원래 공식은 빛의 속도가 방사형과 가로 방향에서 동일하지 않은 이방성 좌표를 사용한다. 아서 스탠리 에딩턴 은 등방성 좌표에서 다른 형식을 제공했다.[ 2] 등방성 구형 좌표의 경우
r
1
{\displaystyle r_{1}}
,
θ
{\displaystyle \theta }
,
ϕ
{\displaystyle \phi }
, 좌표
θ
{\displaystyle \theta }
그리고
ϕ
{\displaystyle \phi }
변경되지 않은 다음 (제공된
r
≥
2
G
m
c
2
{\displaystyle r\geq {\frac {2Gm}{c^{2}}}}
)[ 3]
r
=
r
1
(
1
+
G
m
2
c
2
r
1
)
2
{\displaystyle r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}
,
d
r
=
d
r
1
(
1
−
(
G
m
)
2
4
c
4
r
1
2
)
{\displaystyle dr=dr_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)}
, 그리고
(
1
−
2
G
m
c
2
r
)
=
(
1
−
G
m
2
c
2
r
1
)
2
/
(
1
+
G
m
2
c
2
r
1
)
2
{\displaystyle \left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}
그런 다음 등방 직사각형 좌표의 경우
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
,
z
{\displaystyle z}
,
x
=
r
1
sin
(
θ
)
cos
(
ϕ
)
,
{\displaystyle x=r_{1}\,\sin(\theta )\,\cos(\phi )\quad ,}
y
=
r
1
sin
(
θ
)
sin
(
ϕ
)
,
{\displaystyle y=r_{1}\,\sin(\theta )\,\sin(\phi )\quad ,}
z
=
r
1
cos
(
θ
)
{\displaystyle z=r_{1}\,\cos(\theta )}
계량은 등방 직사각형 좌표에서 다음과 같이 된다.
d
s
2
=
(
1
+
G
m
2
c
2
r
1
)
4
(
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
)
−
c
2
d
t
2
(
1
−
G
m
2
c
2
r
1
)
2
/
(
1
+
G
m
2
c
2
r
1
)
2
{\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})-c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}
슈바르츠실트 계량을 유도할 때 계량이 진공, 구형 대칭 및 정적 이라고 가정했다. 버코프의 정리 는 중력장 방정식 구형 대칭 진공 해가 고정되어 있다고 명시하므로 정적 가정은 필요하지 않는다. 따라서 슈바르츠실트 해는 다음과 같다. 버코프의 정리는 구형 대칭을 유지하는 맥동 별이 중력파 를 생성하지 않는다는 결과를 가져온다. 별 외부 영역은 정적 상태로 유지되기 때문이다.