해석학에서 비르팅거 부등식은 푸리에 해석에서 사용되는 부등식이다. 빌헬름 비르팅거의 이름을 따서 명명되었다. 등주부등식을 증명하기 위해 1904년에 사용되었다. 밀접하게 관련된 다양한 결과는 오늘날 비르팅거 부등식으로 알려져 있다.
첫 번째 형태[편집]
주기가
인 주기함수
가 연속 함수이고
전체에 걸쳐 연속 도함수를 가지며 다음을 만족한다고 하자.
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f(x)\,dx=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c6667a66f3eee7622f01887c3b7ae18345a725)
그렇다면 다음 부등식이 성립한다.
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)\,dx\geq \int _{0}^{2\pi }f^{2}(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cef75b594570c56c0b79aea0a40c88c5165d83e)
이 부등식에서 등식이 성립할 필요충분조건은 어떤
,
에 대하여
인 것이며, 이는 어떤
와
에 대하여
인 것과 동치이다.
비르팅거 부등식의 이 형태는 최적의 상수에 대한 1차원 푸앵카레 부등식이다.
두 번째 형태[편집]
이와 관련된 다음 부등식도 또한 비르팅거 부등식이라고 한다. (Dym & McKean 1985) harv error: 대상 없음: CITEREFDymMcKean1985 (help)
가
을 만족하는
함수일 때마다
![{\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{a}|f|^{2}\leq a^{2}\int _{0}^{a}|f'|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8df4b2652834fae098085217649fa38caecb0d)
이 형태의 비르팅거 부등식은 프리드리히의 부등식의 1차원 꼴과 같다.
두 부등식의 증명은 비슷하다. 다음은 첫 번째 형태에 대한 증명이다. 디리클레의 조건이 충족되므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n\geq 1}\left(a_{n}{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}}+b_{n}{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982ea06fea57720b7d0ba3072d3db0ad5deae9aa)
게다가
의 적분이 소멸하기 때문에
이다. 파르스발 항등식에 의해
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f^{2}(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d492ca6c6d3761ed33d9966298a5fc990439ec8)
이며
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2cb6c3c2633b149b17f3e4ab83354020b66a24c)
두 급수의 항에 대하여 부등식하므로 원하는 부등식을 얻는다. 등식이 성립하는 경우는 모든 항이 같은 경우, 즉 모든
에 대하여
인 경우이다.
참고 문헌[편집]
- Dym, H; McKean, H (1985), 《Fourier series and integrals》, Academic press, ISBN 978-0-12-226451-1
- Paul J. Nahin (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, page 183, Princeton University Press ISBN 0-691-11822-1
- Komkov, Vadim (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661–668.