리 대수 이론에서, 분할 리 대수(分割Lie代數, 영어: split Lie algebra)는 특별한 형태의 카르탕 부분 대수를 갖춘 리 대수이다. 복소수체 위의 반단순 리 대수는 항상 분할 리 대수의 구조를 갖는다.
체
위의 유한 차원 리 대수
의 카르탕 부분 대수
가 다음 조건을 만족시킨다면, 분할 카르탕 부분 대수라고 한다.
- 임의의
에 대하여,
가 삼각 행렬이 되는
의
-기저가 존재한다.
분할 카르탕 부분 대수를 갖는 리 대수를 분할 리 대수라고 한다.
유한 개의 분할 리 대수
가 주어졌을 때, 그 직합
![{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6120c7e5c1316df191e249f97a73377b9379ea99)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in I}{\mathfrak {g}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c5df4bdb2e4d879427dc36e815ea1e34056521)
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}=\bigoplus _{i\in I}{\mathfrak {h}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d53fd35b6fb3034c65bee0d5e4e335dbac0354)
역시 분할 리 대수를 이룬다.
대수적으로 닫힌 체 위의 모든 반단순 리 대수는 분할 리 대수의 구조를 가질 수 있다. 그러나 이는 대수적으로 닫힌 체가 아닌 체에 대하여 성립하지 않는다.
표수 0의 체
위에서, 보렐 부분 리 대수(즉, 극대 가해 부분 리 대수)를 갖는 리 대수를 준분할 리 대수(영어: quasisplit Lie algebra)라고 한다. 이 경우, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
- 분할 리 대수 ∪
-반단순 리 대수 ⊆ 준분할 리 대수 ⊆ 반단순 리 대수
(여기서
는
의 대수적 폐포이다.) 만약
가 대수적으로 닫힌 체(예를 들어, 복소수체)라면, 위 포함 관계들은 모두 등호가 된다. 그러나 만약
일 때, 이는 모두 등호가 아니다.
각 복소수 단순 리 대수는 정확히 하나의 분할 실수 형식을 갖는다. 그러나 이들은 하나 이상의 준분할 실수 형식을 가질 수 있다.
복소수 단순 리 대수들 가운데, 분할이 아닌 준분할 실수 형식을 갖는 것들은 다음과 같다.
복소수 단순 리 대수 |
분할 실수 형식 |
분할이 아닌 준분할 실수 형식
|
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1f3c589867f20df0559f6f526b62eaf5929633) |
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1531e0994c92d8d211b908e3f0bf3b60d1cffd) |
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![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d3d2f8f3c4144df27549e44a9bc837aaa1bb15) |
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36a91b52376de6a9201865ff0b57be2fe12a440) |
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![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f478652f321cdcdc6a3a0185a7beac54022adb) |
![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(6)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d1e3d80aa2efe979038f494b528e1ab5e45c11) |
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