부냐콥스키 추측

수론에서 부냐콥스키 추측(Буняковский推測, 영어: Bunyakovsky conjecture)은 정수 계수 기약다항식의 자연수에 대한 상이 보통 무한히 많은 소수를 포함한다는 추측이다. 아직 미해결 문제로 남아 있다.

정의

1보다 높은 차수의 (정수 상의) 정수계수 기약다항식 p(x)에 대하여, 자연수 집합 $\mathbb {N}$ 의 상 $p(\mathbb {N} )$ 을 생각할 수 있다. 부냐콥스키 추측에 따르면, $p(\mathbb {N} )$ 은 다음 두 가지 가운데 하나가 성립한다.

$p(\mathbb {N} )$ 의 최대공약수가 1이 아니다.
$p(\mathbb {N} )$ 은 무한히 많은 소수를 포함한다.

다시 말해, p(N)이 유한한 개 소수만을 포함하면서 최대공약수가 1인 자연수들의 집합인 경우는 불가능하다는 뜻이다. 이는 콘의 기약성 기준의 역과 유사한 꼴이다. 또한 이는 디리클레 등차수열 정리의 일반화로도 볼 수 있다.

역사

러시아의 수학자 빅토르 부냐콥스키(Виктор Яковлевич Буняковский)가 1857년 제시하였다.

예

최대공약수가 1보다 큰 자연수들의 집합이 되는 경우는 $p(x)=x^{2}+x+4$ 를 생각해 볼 수 있다. 이 다항식은 실수 상에서 기약이므로 정수 상에서 역시 기약이나, 임의의 자연수를 넣을 때마다 그 값은 항상 짝수가 된다.

무한히 많은 소수를 생성하는 것처럼 보이는 경우는 $p(x)=x^{2}+1$ 에서 볼 수 있다. 이 다항식에 몇 개의 수를 넣어 생성한 소수는 다음과 같다.

x	1	2	4	6	10	14	16	20	24	26	36
x² + 1	2	5	17	37	101	197	257	401	577	677	1297

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Bouniakowsky conjecture”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

같이 보기