해석학에서, 모멘트 문제(moment問題, 영어: moment problem)는 어떤 값들이 분포의 모멘트가 될 수 있는지 및 모멘트로부터 분포를 재구성할 수 있는지 여부에 대한 문제이다.
어떤 측도 공간
위에, 일련의 적분 가능 함수들의 집합
이 주어졌다고 하자. 그렇다면 모멘트 문제는 다음과 같은 일련의 문제들이다.
- (존재 문제) 임의의 수열
에 대하여,
인
가 존재하는가?
- (유일성 문제) 임의의 수열
에 대하여,
인
가 유일한가? 아니면, 이러한
의 공간이 어떤 모양인가?
고전적 모멘트 문제[편집]
다음과 같은 특별한 모멘트 문제들은 이름이 붙어 있다.
- 함부르거 모멘트 문제(영어: Hamburger moment problem)는
이며
인 경우이다.
- 스틸티어스 모멘트 문제(영어: Stieltjes moment problem)는
이며
인 경우이다.
- 하우스도르프 모멘트 문제(영어: Hausdorff moment problem)는
이며
인 경우이다.
함부르거 문제[편집]
함부르거 모멘트 문제의 해는 다음과 같다.
존재 문제의 경우, 수열
가 모멘트를 이룰 필요충분조건은 항켈 행렬의 열
![{\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\qquad (0\leq i,j\leq n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1797f8a49ccb86476e9afe6750c8d138f35d75a6)
가 모든
에 대하여 양의 준정부호이어야 한다는 것이다.
유일성 문제의 경우는 복잡하며, 칼레만 조건(영어: Carleman’s condition) 및 크레인 조건(영어: Krein’s condition)이라는 충분 조건이 알려져 있다.
칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트
가
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }m_{2i}^{-1/2i}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f7e5b6cb61635a4ffeb0208b3b8447268f413b)
라면, 모멘트
에 대응하는 측도는 유일하다. 특히, 만약 짝수 차수 모멘트가
![{\displaystyle m_{2i}\in {\mathcal {O}}((2i)!)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48a500a50c23539ad99b08b8c61082d5739ddea)
이라면, 모멘트에 대응하는 측도는 유일하다.
크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트
를 갖는 함수
가
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }-{\frac {\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc1d47915d94c2a2efa7cdfe21c4a2fc8237345)
를 만족시킨다면, 모멘트
에 대응하는 측도는 유일하지 않다.
스틸티어스 문제[편집]
스틸티어스 모멘트 문제에서, 수열
가 주어졌을 때 행렬
![{\displaystyle \Delta _{n}={\begin{pmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b84a719333919299652adf1d9b5949fbfed894)
![{\displaystyle \Delta _{n}^{(1)}={\begin{pmatrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceead4c616aaa1c7527e77aad8c6798c44ef74ec)
을 정의하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
이 어떤 분포의 모멘트를 이룰 필요충분조건은 모든
에 대하여
이며
인 것이다.
유일성에 대하여, 여러 충분 조건이 존재한다. 함부르거 문제와 마찬가지로, 칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트
가
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }m_{i}^{-1/2i}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5a896b98ad92c27fb3e1e197605b6be501c9c3)
라면, 모멘트
에 대응하는 측도는 유일하다.
크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트
를 갖는 함수
가
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }-{\frac {{\sqrt {x}}\ln f(x)}{1+x}}\,dx<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9034dadb760713bcc1f84b985a01abe3f01d7ed)
를 만족시킨다면, 모멘트
에 대응하는 측도는 유일하지 않다.
하우스도르프 문제[편집]
하우스도르프 모멘트 문제의 경우, 존재와 유일성은 다음과 같다.
수열
가 어떤 측도의 모멘트일 필요충분조건은 모든
에 대하여
![{\displaystyle (-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3c27845af84127c5791c5b522e9daa590ee13d)
인 것이다. 여기서
는 수열의 차 연산자
![{\displaystyle (\Delta m)_{i}=m_{i+1}-m_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb13cc208f5e95447613b763c91fdd43573f0fda)
이다.
모멘트가 주어지면 스톤-바이어슈트라스 정리에 의하여 이에 대응하는 분포는 유일하다.
체비쇼프-마르코프-크레인 부등식[편집]
체비쇼프-마르코프-크레인 부등식(영어: Chebyshev–Markov–Krein inequality)은 모멘트가 알려져 있는 함수 또는 측도의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 정리이다.
가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하고,
가
위의 측도이며,
라고 하자.
가 임의의 유한 차원 실수 벡터 공간이라고 하자. 또한,
가 모든
에 대하여
인 함수
를 적어도 한 개 포함한다고 하자.
가
![{\displaystyle \int _{X}u\,d\mu =\int _{X}u\,d\nu \qquad \forall u\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61695551e2b98a23d2473d11a76d141fec4f5b6d)
![{\displaystyle \nu (X)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914d84bc0ae8e89ea29d94315035d7b7b317b9a9)
인 측도
들의 집합이라고 하자.
임의의
에 대하여, 체비쇼프-마르코프-크레인 부등식은
![{\displaystyle \left\{\nu \in V(U,\mu )\colon \int _{X}f\,d\nu \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224cccaee74e2f2a74e0ba5370420b53c0fae91d)
의 상한과 하한에 대한 부등식이다.
이 경우, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \inf _{\nu \in V(U,\mu )}\int _{X}f\,d\nu =\sup _{u\in U,\,u\leq f}\int _{X}u\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472a310d80fcc72ebf03c70523db12cf47a363ac)
따라서,
의 상한·하한을 찾는 문제는
![{\displaystyle \{\|u-f\|_{1}\colon u\in U\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331035da37fa974b19482327f920dd6b053722c8)
의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다. 임의의
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 위 최솟값을 포화시키며, 모든
에 대하여
이다.
- 다음 두 조건을 만족시키는
및 양의 실수
가 존재한다 (
).
![{\displaystyle f(x_{i})=u_{0}(x_{i})\qquad \forall i=1,\dots ,k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48cb69885be25d52e6f057a6029bef9a9e7a333)
![{\displaystyle \textstyle \int _{X}u\,d\mu =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}u(x_{i})\qquad \forall u\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf63bd2325e49ed342c2a664c5ccb943b6aa582)
이러한
를 찾았을 때, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \inf _{v\in V(U,\mu )}\int _{X}f\,d\nu =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}f(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6369d874d55e23c25c0b430db7009ef372e5d4)
또한, 이 하한을 포화시키는 측도
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \nu _{\min }=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\delta _{x_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa9ba2dd5d012599c8b28fe08d988efc71e50b0)
여기서
는
에서의 디랙 델타 측도이다. 즉,
![{\displaystyle \delta _{x}(A)={\begin{cases}1&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c9f5049734544ecb6ad5e06c05a2c964015253)
이다.
마찬가지로, 상한을 찾으려면
의 하한을 찾으면 된다.
구간 위의 모멘트 문제[편집]
닫힌구간
위의 모멘트 문제를 생각하자. 만약 유한 차원 벡터 부분 공간
에 대하여, 임의의
에 대하여
가
개 미만의 영점들을 갖는다면,
를 체비쇼프 공간(영어: Chebyshev space, T-space)이라고 하며, 그 기저를 체비쇼프 계(영어: Chebyshev system, 영어: T-system)라고 한다.
위의 체비쇼프 공간
가 주어졌다고 하자.
위의 유한 측도
가, 임의의
에 대하여 만약
이면
이라고 하자. 그렇다면,
에 대하여,
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,d\mu =\int _{a}^{b}u\,d\nu \qquad \forall u\in T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771e914a9f54e4d4a53a4ae36da4660edf3a294e)
이며
![{\displaystyle \nu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\delta (x_{i})\qquad (a\leq x_{1}<x_{2}<\cdots x_{n}\leq b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf37c13b8e8678a4cb531cefa072bd3ad287a46e)
인 꼴의 측도
가 정확히 두 개 존재하며, 두 개 가운데 하나는
를 갖는다. 이를
이라고 하며,
의 상·하 주표현(영어: upper/lower principal representation)이라고 한다. 임의의
위의 유한 측도
에 대하여, 항상 다음과 같은 부등식이 성립한다.
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f\,d\mu _{-}\leq \int _{a}^{b}f\,d\mu \leq \int _{a}^{b}f\,d\mu _{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998b69ecc5b9cefcfbce668ec5c5a3e77253d3df)
즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다.
실수선 위의 함수
![{\displaystyle f(x)=\exp(-(\ln x)^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432e24ee5ae85115a28c34e8e000764595a2076d)
를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다.
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx={\begin{cases}2e^{(n+1)^{2}/4}{\sqrt {\pi }}&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f0669111fdf11d0980ab32fa0211dc74afe940)
그러나 크레인 조건에 따라
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\ln x)^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi ^{3}/4<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04a1fc145ddf0ac0b642ded93bb386cf266fcef)
이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은
![{\displaystyle m_{2n}\sim \exp(n^{2})\gg (2n)!\sim \exp \left(2n\ln n+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c72733511522a373e8e3743b625724bf2f02ce)
이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]