위상수학에서, 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수(Lebesgue數, 영어: Lebesgue number)는 열린 덮개의 섬세함을 측정하는 수이다. 구체적으로, 르베그 수보다 더 작은 지름을 갖는 집합은 열린 덮개의 한 원소에 속하게 된다.
유사 거리 공간
의 덮개
의 르베그 수는 다음 조건을 만족시키는 양의 실수
이다.
- 임의의 부분 집합
에 대하여,
이면
가 존재한다.
여기서
![{\displaystyle \operatorname {diam} Y=\sup\{d(x,y)\colon x,y\in Y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6d974fa8e62f196f87429372aadd95ff14244d)
는 유사 거리 공간의 지름이다.
유사 거리 공간
의 덮개
의 르베그 수
가 존재한다면,
보다 작은 양의 실수는 마찬가지로
의 르베그 수이다.
정의에 따라, 유사 거리 공간
의 덮개
의 르베그 수가 존재한다면, 그 최대 르베그 수가 존재하며, 이는 덮개의 불변량이다.
르베그 수 보조정리(-數補助定理, 영어: Lebesgue's number lemma)에 따르면, 콤팩트 유사 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수는 항상 존재한다.
증명:
정의에 따라 유한 부분 덮개
![{\displaystyle \{U_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9ee22bc7db7f9b77193fe7898e2ba35d730c63)
를 취할 수 있다. 이제, 다음이 르베그 수임을 보이자.
![{\displaystyle \delta =\min _{x\in X}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,X\setminus U_{i})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6765f0871393c1d8082cecf26b11f5c8c636d8b7)
임의의
![{\displaystyle Y\subset X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ed7bcf8cec0dba504a57e067b74f9f85f1ea0b)
![{\displaystyle \operatorname {diam} Y<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69b027102c7f72a5719114e3a1a36792f5618af)
에 대하여, 임의의
![{\displaystyle y\in Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee1c0ec36a82f33f5e3d7434d5667881b4ec323)
를 취하자. 그러면,
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(y,X\setminus U_{i})\geq \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db4d1d5d3087357fd446d70cad0e05bc04cc7bf)
이므로, 다음을 만족시키는
이 존재한다.
![{\displaystyle d(y,X\setminus U_{i})\geq \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526ef042383477cd96bb6aa22584ff678066d128)
즉,
![{\displaystyle Y\subseteq U_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05136fec166c3c1b3d3b44125564f30c55aad053)
이다.
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 닫힌구간
의 열린구간 덮개
를 생각하자. 유한 부분 덮개
![{\displaystyle \{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),\dots ,(a_{n},b_{n})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9236f0eae34c13e31c0c2172e7feb4d91ce8bc15)
를 취하고,
![{\displaystyle \delta =\min\{|x-y|\colon x,y\in \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\},\;x\neq y\}\in (0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56205b657b776e1dff2df2da2735ae3935164442)
라고 하자. 그렇다면
는
의 르베그 수이다.
각
에 대하여,
인
을 취하자. 그렇다면, 길이
미만의 구간
![{\displaystyle [x,y]\subset [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43eaee652e85b22736388bc38d79b8d83b9b8c83)
![{\displaystyle y-x<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b6000c1eab8ff405413e194c4c705b22f18a07)
에 대하여, 만약
![{\displaystyle [x,y]\cap \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\}=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f214a29644786fa9b37252b36fe13e21a5e4b1d0)
이라면,
![{\displaystyle [x,y]\subset (a_{i(x)},b_{i(x)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207cc8112f8685d0c2585e1bf0a4b105ee8523a6)
이다. 반대로 만약
![{\displaystyle c\in [x,y]\cap \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5476d73786b750604ec48ca8459619cc54205701)
이라면,
![{\displaystyle [x,y]\subset (a_{i(c)},b_{i(c)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffbc02eb25eeb009d6c3fa3bafce55d3b6d166a)
이다.
르베그 측도가 측도의 성질을 만족하는 것을 보이기 위해 사용된다.[1]:32
- ↑ Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics