디리클레 L-함수

디리클레 L-함수(Dirichlet L-Function)의 디리클레 급수(Dirichlet Series) 형식은,

$L_{k}(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{{\chi _{k}(n)} \over {n^{s}}}$ $\qquad \chi _{k}(n)$는 디리클레 지표

디리클레 L-함수는 다른 L-함수계열처럼 가산(덧셈)과 곱셈의 수학적 상관관계를 직접적으로 보여주는 리만 제타 함수를 근간으로 하는 특수 함수이다.

소수는 리만 제타 함수에서 보여지듯이 가산과 곱셈사이의 연결을 이해하는 중요한 정보이다.

디리클레가 무한히 많은 소수들이 포함되어 있음을 증명하는 디리클레 등차수열 정리에서 디리클레 L-함수(Dirichlet L-Function)를 사용했다.

• 디리클레 베타 함수

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}$

$\beta (s)=L_{-4}(s)$

$L_{-4}(1)={1 \over 4}\pi$

• 리만 제타 함수

$\zeta (s)=L_{+1}(s)$

$L_{+1}(1)=\infty$

• 디리클레 람다 함수

$\lambda (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{{1} \over {(2n+1)^{s}}}$

$\lambda (s)=(1-2^{-s})\zeta (s)$ $\qquad ,\zeta (s)$리만 제타 함수

따라서,

${{\lambda (s)} \over {\zeta (s)}}=(1-2^{-s})$

${{\zeta (s)} \over {\lambda (s)}}={{1} \over {(1-2^{-s})}}$

${\zeta (s)}={{\lambda (s)} \over {(1-2^{-s})}}$

따라서,

$L_{+1}(s)=\zeta (s)$

$L_{+1}(s)=\zeta (s)={{\lambda (s)} \over {(1-2^{-s})}}$

$L_{+1}(1)=\infty$

다른 함수와의 연관성

모듈러 함수와 푸리에 급수와의 연관성

$f(\tau )=\sum _{n=0}^{\infty }c(n)e^{2\pi i\tau n}$

$\quad =c(0)+\sum _{n=1}^{\infty }c(n)e^{2\pi i\tau n}$

$f\left({{a\tau +b} \over {c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}f(\tau )$

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$

모듈러 군의 감마$(\Gamma )$ 멤버이다.

특수값

$L_{-8}(1)={\pi \over 2{\sqrt {2}}}$

$L_{-7}(1)={\pi \over {\sqrt {7}}}$

$L_{-3}(1)={1 \over 9}{\pi {\sqrt {3}}}$

$L_{+5}(1)={2 \over 5}{\sqrt {5}}\ln \phi$

$L_{+8}(1)={{\ln(1+{\sqrt {2}})} \over {\sqrt {2}}}$

$L_{+12}(1)={{\ln(2+{\sqrt {3}})} \over {\sqrt {3}}}$

$L_{+13}(1)={2 \over {\sqrt {13}}}\ln \left({{3+{\sqrt {13}}} \over {2}}\right)$

${\displaystyle }$

$L_{-4}(2)=K$

$L_{-3}(2)={1 \over 9}\left(\psi _{1}{\left({1 \over 3}\right)}-\psi _{1}{\left({2 \over 3}\right)}\right)$

$L_{+1}(2)={1 \over 6}\pi ^{2}$

$K$: 카탈랑 상수, $\psi$: 트리감마 함수

같이 보기

• 디리클레 등차수열 정리
• 리만 제타 함수
• 후르비츠 제타 함수
• L-함수

참고

• Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976.