실해석학에서, 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 실수 항의 단조 유계 수열이 항상 수렴한다는 정리이다.
실수 수열
이 주어졌다고 하자. 단조 수렴 정리에 따르면, 만약
가 증가 수열이라면 (
), 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15e187d2b12bc4153eaf885501cfa2d885abef8)
마찬가지로, 만약
가 감소 수열이라면 (
), 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n\geq 0}a_{n}\in [-\infty ,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d3c1a7011204f098a2ef191ce80b1489481a11)
여기서
는 각각 상한과 하한을 나타낸다.
이에 따라, 임의의 실수 단조 수열
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
은 (
에서) 수렴한다.
는 유계 수열이다.
임의의 실수 증가 수열
에 대하여, 그 상한을
![{\displaystyle L=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f75ba4138e24fb864fac194d25604c00a0d751)
이라고 하자.
만약
이 유계 수열이라면,
이다.
의 정의에 따라, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle a_{N}>L-\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a9fc63b9e22b3712a633b87f29759bc2c77172)
인
이 존재한다. 따라서, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle L-\epsilon <a_{N}\leq a_{n}\leq L<L+\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56906b245791977d3a3f22eccce8cd98966beac)
이다. 즉,
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8a6da951ff8db5ca56f8e9454ed61271cf6ffd)
이 성립한다.
만약
이 무계 수열이라면,
이다. 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle a_{N}>M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f0181e47b6abf09df9d55ae23a3e084f519275)
인
이 존재하며, 임의의
에 대하여
![{\displaystyle a_{n}\geq a_{N}>M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a33b9d8763ae99a12b7673d098defabbf65dd8f)
이다. 즉,
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a660885216b695803c4ad4d1d6dac4d33d92e81)
이 성립한다.
확장된 실수
![{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c72d81a8f52c5d4467e49ba000a9319898da5e)
를 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수 수열
의 극한이다.
![{\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef6d1e6d8a909eb9749b3b3d08c7e99cad74974)
![{\displaystyle a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}\qquad (n\geq 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c368d57e93d398515594214b5288dc893b42832f)
수학적 귀납법을 통해
이 증가 수열임을 다음과 같이 보일 수 있다.
![{\displaystyle a_{2}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}>{\sqrt {2}}=a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9c71499a07d70ff72cb943766820ffecf77d09)
![{\displaystyle a_{n+1}>a_{n}\implies a_{n+2}={\sqrt {2+a_{n+1}}}>{\sqrt {2+a_{n}}}=a_{n+1}\qquad (n\geq 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7915b058005880e3fb81a10abcacf29a5a90a497)
또한
은 다음에 따라
을 상계로 가지므로, 유계 수열이다.
![{\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}<{\sqrt {2}}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7d4405eb8c8f912f8938690436fe7114b64134)
![{\displaystyle a_{n}<{\sqrt {2}}+1\implies a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}<{\sqrt {2+{\sqrt {2}}+1}}<{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}+1\qquad (n\geq 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112e69f6e2709ea76414d3daf70006137230cbef)
단조 수렴 정리에 따라,
은 수렴한다. 이제
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8a6da951ff8db5ca56f8e9454ed61271cf6ffd)
이라고 하고 등식
![{\displaystyle a_{n+1}^{2}=2+a_{n}\qquad (n\geq 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5642404adf13d127d40342644095cbd62b7e3591)
의 양변에 극한을 취하면
![{\displaystyle L^{2}=2+L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89201a658f4741f6c4f53909dc05b8cd2ce0d913)
을 얻으며, 이를 풀면
이거나
임을 얻는다. 또한
이므로,
![{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=L=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54afde515d6616ec12ed91088b912a9039a94faf)
이다.
일반화[편집]
실수 수열
이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수
및 연속 함수
이 존재한다고 하자.
- 임의의
및
에 대하여, 만약
이라면
이다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle f(x,\dots ,x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8cb06589fe8d8902f16655e910e627a175c045)
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle f(a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k})\leq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e89b6f9b56338d3413cb4f052a0971d8ee68b5b)
그렇다면,
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}\min\{a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k}\}\in (-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe7a77d473f011db13219a36ab8ec127bda2456)
이다.[1] 또한,
이 수렴할 필요 충분 조건은 유계 수열이다.
외부 링크[편집]