Y-Δ 변환 (Y-Δ transform, wye-delta transform) 또는 T-Π 변환 (T-Π transform, star-pi transform)은 전기 회로 분석을 간단하게 할 수 있는 수학적 기술 중 하나이다. 이 변환의 이름은 분석하고자 하는 회로도 모양이 각각 알파벳 Y와 그리스 문자 Δ (델타)로 보인 것에서 따왔다. 이 회로 변환은 1899년 아서 에드윈 케넬리 가 처음 발표하였다.[1] 3상전력 회로 분석에서 광범위하게 사용된다.
Y-Δ 변환은 3개의 저항기 가 달린, 스타-매쉬 변환 의 특수해라고 볼 수도 있다. 수학에서 Y-Δ 변환은 평면 그래프 이론 해석에서 중요한 역할을 한다.[2]
T-Π 변환을 보여주는 그림 Y-Δ 변환은 많은 다른 이름으로도 알려져 있는데, 주로 2가지 모양을 따와서 이름이 붙여있다. 하나는 Y 를 T (또는 star)로 바꿔 부르거나, Δ (델타)를 삼각형 또는 Π
기초 변환 [ 편집 ] 이 글에서 사용되는 Δ 및 Y 회로 이 변환은 3개의 선으로 연결된 서로 다른 모양의 회로망이 실제로는 같은 것임을 보여준다. 3개의 말단부 공통 노드에 전력을 공급하는 능동소자가 하나도 없을 경우, 임피던스 변환을 통해 노드를 없앨 수 있다. 회로가 등가임을 보이기 위하여 두 회로망의 양 끝단 사이 총 임피던스는 항상 같아야 한다. 여기에 주어진 방정식은 실제로 복잡한 임피던스일 경우에도 해당된다.
Δ에서 Y로의 변환 [ 편집 ] Y 회로의 양단 임피던스
R
y
{\displaystyle R_{y}}
R
′
{\displaystyle R'}
R
″
{\displaystyle R''}
R
y
=
R
′
R
″
∑
R
Δ
{\displaystyle R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}
여기서
R
Δ
{\displaystyle R_{\Delta }}
R
1
=
R
b
R
c
R
a
+
R
b
+
R
c
R
2
=
R
a
R
c
R
a
+
R
b
+
R
c
R
3
=
R
a
R
b
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{2}&={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{3}&={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}}
Y에서 Δ로의 변환 [ 편집 ] Δ 회로에서 임피던스
R
Δ
{\displaystyle R_{\Delta }}
R
Δ
=
R
P
R
o
p
p
o
s
i
t
e
{\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}}
여기서
R
P
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
{\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}
R
o
p
p
o
s
i
t
e
{\displaystyle R_{\mathrm {opposite} }}
R
Δ
{\displaystyle R_{\Delta }}
R
a
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
1
R
b
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
2
R
c
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
3
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\R_{b}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\R_{c}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}
변환의 존재성과 유일성 증명 [ 편집 ] 이 변환의 존재성은 회로 이론의 중첩 정리 를 통해 보일 수 있다. 더욱 일반화한 스타-매쉬 변환 에서 유도하는 것 보다는 더 짧게 증명할 수 있다. 두 회로가 동등함은 3개 노드(
N
1
,
N
2
,
N
3
{\displaystyle N_{1},N_{2},N_{3}}
V
1
,
V
2
,
V
3
{\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}
I
1
,
I
2
,
I
3
{\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}
(1)
(
I
1
−
I
2
)
/
3
,
−
(
I
1
−
I
2
)
/
3
,
0
{\displaystyle (I_{1}-I_{2})/3,-(I_{1}-I_{2})/3,0}
(2)
0
,
(
I
2
−
I
3
)
/
3
,
−
(
I
2
−
I
3
)
/
3
{\displaystyle 0,(I_{2}-I_{3})/3,-(I_{2}-I_{3})/3}
(3)
−
(
I
3
−
I
1
)
/
3
,
0
,
(
I
3
−
I
1
)
/
3
{\displaystyle -(I_{3}-I_{1})/3,0,(I_{3}-I_{1})/3}
여기서 키르히호프의 전기회로 법칙 에 따라
I
1
+
I
2
+
I
3
=
0
{\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}=0}
직렬 회로와 병렬 회로 의 기초 법칙을 이용해 증명할 수 있다.
R
3
+
R
1
=
(
R
c
+
R
a
)
R
b
R
a
+
R
b
+
R
c
,
{\displaystyle R_{3}+R_{1}={\frac {(R_{c}+R_{a})R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}},}
R
3
R
1
=
R
a
R
c
.
{\displaystyle {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}}{R_{c}}}.}
6개의 방정식은 3개의 다른 변수
R
a
,
R
b
,
R
c
{\displaystyle R_{a},R_{b},R_{c}}
R
1
,
R
2
,
R
3
{\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}
회로망의 간단화 [ 편집 ] 2개의 단말부가 있는 저항 회로는 이론적으로 1개의 등가저항을 가진 회로로 간단하게 변환 할 수 있다. 직렬 및 병렬 변환은 간단화를 위한 가장 기초적인 도구이나 이 문서에 쓰여 있는 브릿지와 같은 복잡한 회로에는 적용하기 어렵다.
Y-Δ 변환을 이용하여 아래의 그림과 같이 한번에 1개의 노드를 없애고 더 간단한 회로망을 만들 수 있다.
브릿지 저항회로에서 노드 D 를 없애기 위해 Y-Δ 변환을 사용하여 더 단순한 회로망으로 바꾼 모습 노드를 추가하는 Δ-Y 변환 같은 경우에는 직병렬 등으로 더욱 회로 선을 단순화할 수 있도록 해준다.
브릿지 저항회로에서, Δ-Y 변환을 이용하여 회로를 간단하게 바꾸는 모습 평면 그래프 모양의 모든 2극 회로망은 직병렬 변환,Δ-Y 변환, Y-Δ 변환을 이용하여 단일 등가저항을 가진 회로로 바꿀 수 있다.[3] 원환면 모양으로 정사각형 회로가 서로 이어져 있는 형태이거나, 페테르센 족 모양과 같이 평면이 아닌 모양의 회로망은 Y-Δ 변환을 사용하여 단일 등가저항을 가진 회로로 단순화할 수 없는 경우가 존재한다.
그래프 이론 [ 편집 ] 그래프 이론 에서 Y-Δ 변환이란 한 그래프 내의 Y 부분 그래프 를 등가의 Δ 부분 그래프로 변환하는 작업을 의미한다. 이 변환은 그래프의 변 수는 그대로이나, 꼭짓점의 수나 순환 의 수는 달라질 수 있다. 두 그래프가 한 그래프에서 Y-Δ 변환을 통해 다른 그래프로 모양을 바꿀 수 있다면 이 두 그래프는 Y-Δ 등가 라고 부른다. 예를 들어, 페테르센 족 은 Y-Δ 동치관계 이다.
Δ에서 Y로의 변환 [ 편집 ] 이 글에서 사용할 Δ 회로와 Y 회로 Δ 회로에서의
{
R
a
,
R
b
,
R
c
}
{\displaystyle \{R_{a},R_{b},R_{c}\}}
{
R
1
,
R
2
,
R
3
}
{\displaystyle \{R_{1},R_{2},R_{3}\}}
Δ 회로에서 N 3 이 끊어진 상태에서 N 1 과 N 2 사이의 임피던스는 다음과 같다.
R
Δ
(
N
1
,
N
2
)
=
R
c
∥
(
R
a
+
R
b
)
=
1
1
R
c
+
1
R
a
+
R
b
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{c}\parallel (R_{a}+R_{b})\\&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{c}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{b}}}}}\\&={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}}
식을 간단하게 하기 위해,
{
R
a
,
R
b
,
R
c
}
{\displaystyle \{R_{a},R_{b},R_{c}\}}
R
T
{\displaystyle R_{T}}
R
T
=
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}
따라서,
R
Δ
(
N
1
,
N
2
)
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
T
{\displaystyle R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}
Y 회로에서 N1 과 N2 사이에 대응되는 임피던스를 구하는 법은 간단하다.
R
Y
(
N
1
,
N
2
)
=
R
1
+
R
2
{\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}}
그러므로,
R
1
+
R
2
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
T
{\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}
위의 계산식을 통하여,
R
(
N
2
,
N
3
)
{\displaystyle R(N_{2},N_{3})}
R
2
+
R
3
=
R
a
(
R
b
+
R
c
)
R
T
{\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}}
R
(
N
1
,
N
3
)
{\displaystyle R(N_{1},N_{3})}
R
1
+
R
3
=
R
b
(
R
a
+
R
c
)
R
T
.
{\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}.}
여기서, 위 3개 방정식의 선형 계산(더하기/빼기)을 통하여
{
R
1
,
R
2
,
R
3
}
{\displaystyle \{R_{1},R_{2},R_{3}\}}
예를 들어, (1) 식과 (3) 식을 더한 후 (2) 식을 빼면 다음과 같다.
R
1
+
R
2
+
R
1
+
R
3
−
R
2
−
R
3
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
T
+
R
b
(
R
a
+
R
c
)
R
T
−
R
a
(
R
b
+
R
c
)
R
T
{\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}+{\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}}
2
R
1
=
2
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle 2R_{1}={\frac {2R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}
따라서,
R
1
=
R
b
R
c
R
T
.
{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}.}
여기서,
R
T
=
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}
식을 정리하면 다음과 같다.
R
1
=
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}
R
2
=
R
a
R
c
R
T
{\displaystyle R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}}
R
3
=
R
a
R
b
R
T
{\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}}
Y에서 Δ로의 변환 [ 편집 ] 식을 간단하게 하기 위해 다음과 같은 가정을 하자.
R
T
=
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}
여기서 우리는 Δ 회로에서 Y 회로로 변환하는 방정식을 다음과 같이 세울 수 있다.
R
1
=
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}
R
2
=
R
a
R
c
R
T
{\displaystyle R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}}
R
3
=
R
a
R
b
R
T
.
{\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}.}
3개 방정식을 두개씩 묶어 서로 곱해주면 다음과 같다.
R
1
R
2
=
R
a
R
b
R
c
2
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}}
R
1
R
3
=
R
a
R
b
2
R
c
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}
R
2
R
3
=
R
a
2
R
b
R
c
R
T
2
{\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}
여기서, 3개 방정식을 다 더하면 다음과 같다.
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
=
R
a
R
b
R
c
2
+
R
a
R
b
2
R
c
+
R
a
2
R
b
R
c
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}+R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}
여기서 우변 분자의
R
a
R
b
R
c
{\displaystyle R_{a}R_{b}R_{c}}
R
T
{\displaystyle R_{T}}
R
T
{\displaystyle R_{T}}
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
=
(
R
a
R
b
R
c
)
(
R
a
+
R
b
+
R
c
)
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}}
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
=
R
a
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}
(8)의 식과 {(1),(2),(3)} 식은 서로 유사하다.
(8)을 (1)로 나누면 다음과 같다.
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
1
=
R
a
R
b
R
c
R
T
R
T
R
b
R
c
,
{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{b}R_{c}}},}
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
1
=
R
a
,
{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{a},}
이 식은
R
a
{\displaystyle R_{a}}
R
b
{\displaystyle R_{b}}
R
c
{\displaystyle R_{c}}
더 보기 [ 편집 ]
↑ A.E. Kennelly, "Equivalence of triangles and three-pointed stars in conducting networks", Electrical World and Engineer , vol. 34, pp. 413–414, 1899.
↑ E.B. Curtis, D. Ingerman, J.A. Morrow, Circular planar graphs and resistor networks , Linear Algebra and its Applications , vol. 238, pp. 115–150, 1998.
↑ Klaus Truemper. On the delta-wye reduction for planar graphs . J. Graph Theory 13(2):141–148, 1989.
참고 문헌 [ 편집 ] William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4 외부 링크 [ 편집 ] 
