확률론과 통계학에서 교환 가능 확률 변수족(交換可能確率變數族, 영어: exchangeable family of random variables)은 유한 개를 재배열하여도 결합 확률 분포가 변하지 않는 확률 변수 집합이다. 교환 가능 시그마 대수(交換可能σ代數, 영어: exchangeable sigma-algebra)는 유한 개의 확률 변수를 재배열하여도 발생 여부가 바뀌지 않는 사건들로 구성된 시그마 대수이다.
교환 가능 시그마 대수[편집]
두 집합
,
의 대칭차는 다음과 같다.
![{\displaystyle A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac7c7d817e2eb61909874cb54631da9635505aa)
집합
에 대하여,
가
인
의 수가 유한한 전단사 함수
의 집합이라고 하자.
실수 수열
및
에 대하여,
![{\displaystyle \pi x=(x_{\pi (i)})_{i\in \mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1a65bd969062707c3b5360abb3afd65d45f446)
이라고 하자.
확률 공간
위의, 실수 수열
값의 확률 변수
![{\displaystyle X\colon \Omega \to {\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c0edec21e9b18c3aeca391ee40e6ae663d1ce9)
의 교환 가능 시그마 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathcal {E}}(X)=\{X^{-1}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }),\;\operatorname {Pr} (X^{-1}(B)\bigtriangleup (\pi X)^{-1}(B))=0\forall \pi \in \operatorname {fp} (\mathbb {N} )\}\subset {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f96cde05f3cc4fed0259a0a37908c50ae9d3c7)
교환 가능 시그마 대수의 원소를 교환 가능 사건(交換可能事件, 영어: exchangeable event) 또는 순열 가능 사건(順列可能事件, 영어: permutable event) 또는 대칭 사건(對稱事件, 영어: symmetric event)이라고 한다.
교환 가능 확률 변수족[편집]
확률 공간
위의, 실수
값의 확률 변수들의 가산 집합
![{\displaystyle (X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{i\in I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169ba43038455f095007c7349705ebb9c290b8d6)
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
를 교환 가능 확률 변수족이라고 한다.
- 임의의 유한 집합
및 두 전단사 함수
에 대하여,
와
의 확률 분포는 같다.
- 임의의
및 두 단사 함수
에 대하여,
와
의 확률 분포는 같다.
데 피네티 정리(영어: de Finetti’s theorem)에 따르면, 만약
가 가산 무한 집합일 경우, 다음 네 조건이 서로 동치이다.[1]:232, §7.3, Theorem 2
는 교환 가능 확률 변수족이다.
는 어떤 사건 시그마 대수
에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
는 꼬리 시그마 대수
에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
는
에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
교환 가능 확률 변수열이 주어졌을 때, 만약 모든 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이라면, 모든 교환 가능 사건의 확률 역시 0 또는 1이다. 특히, (콜모고로프 0-1 법칙에 따라 독립 동일 분포 확률 변수열의 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이므로,) 독립 동일 분포 확률 변수열의 교환 가능 사건의 확률은 0 또는 1이다. 이 특수한 경우를 휴잇-새비지 0-1 법칙(영어: Hewitt–Savage zero–one law)이라고 한다.
실수 값의 확률 변수열의 모든 꼬리 사건은 교환 가능 사건이다.
모든 독립 동일 분포 확률 변수열은 교환 가능 확률 변수열이다.
데 피네티 정리는 브루노 데 피네티(이탈리아어: Bruno de Finetti)의 이름을 땄다. 휴잇-새비지 0-1 법칙은 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt)과 레너드 지미 새비지(영어: Leonard Jimmie Savage)의 이름을 땄다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]