꼬리 시그마 대수

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확률론에서, 꼬리 사건(꼬리事件, 영어: tail event)은 어떤 확률 변수들의 열이 주어졌을 때, 처음 유한 개의 변수들의 값들을 잊더라도 나머지 ‘꼬리’만으로 그 여부를 결정할 수 있는 사건이며, 꼬리 시그마 대수(꼬리σ代數, 영어: tail sigma-algebra)는 이러한 사건들로 구성된 시그마 대수이다. 콜모고로프 0-1 법칙(Колмогоров0-1法則, 영어: Kolmogorov zero–one law)에 따르면, 모든 꼬리 사건들은 거의 확실하게 발생하거나 거의 확실하게 발생하지 못한다 (즉, 그 확률이 0 또는 1이다).

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

또한, 임의의 에 대하여, 만약 라면 서로 독립이라고 하자. 즉, 임의의 유한 부분 집합 에 대하여,

이다.

이제, 가측 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 꼬리 사건(영어: tail event)이라고 한다.

  • 임의의 유한 집합 에 대하여,

꼬리 사건들로 생성되는 시그마 대수를

라고 하며, 꼬리 시그마 대수라고 한다. 즉, 풀어 쓴다면, 꼬리 사건은 어떤 확률 변수들(로 정의되는 시그마 대수)의 열이 주어졌을 때, 유한 개의 첫 원소를 제외한 나머지 ‘꼬리’만으로도 그 여부를 결정할 수 있는 사건이다.

성질[편집]

콜모고로프 0-1 법칙에 따르면, 꼬리 사건의 확률은 0 또는 1이다.

증명:

임의의 유한 부분 집합 에 대하여, 꼬리 시그마 대수

이므로, 는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 독립성은 유한 부분 집합에 대하여 정의되므로,

는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 특히,

와 독립이다. 그런데

이다. 따라서, 는 스스로와 독립이다. 그 모든 원소 에 대하여

이며, 의 두 해는 0 및 1이다. 따라서, 이다.

이 정리는 만약 가 유한 집합일 경우 자명하게 참이다. (이 경우 의 부분 시그마 대수이게 된다.)

외부 링크[편집]