교환 가능 확률 변수족

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
둘러보기로 가기 검색하러 가기

확률론통계학에서, 교환 가능 확률 변수족(交換可能確率變數族, 영어: exchangeable family of random variables)은 유한 개를 재배열하여도 결합 확률 분포가 변하지 않는 확률 변수 집합이다. 교환 가능 사건(交換可能事件, 영어: exchangeable event) 또는 순열 가능 사건(順列可能事件, 영어: permutable event) 또는 대칭 사건(對稱事件, 영어: symmetric event)은 유한 개의 확률 변수를 재배열하여도 발생 여부가 바뀌지 않는 사건이다. 교환 가능 시그마 대수(交換可能σ代數, 영어: exchangeable sigma-algebra)는 교환 가능 사건들로 구성된 시그마 대수이다.

정의[편집]

교환 가능 사건[편집]

두 집합 , 대칭차는 다음과 같다.

집합 에 대하여, 의 수가 유한한 전단사 함수 의 집합이라고 하자.

실수 수열 에 대하여,

이라고 하자.

확률 공간 위의, 실수 수열 값의 확률 변수

교환 가능 시그마 대수는 다음과 같다.

교환 가능 시그마 대수의 원소를 교환 가능 사건이라고 한다.

교환 가능 확률 변수족[편집]

확률 공간 위의, 실수 값의 확률 변수들의 가산 집합

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 교환 가능 확률 변수족이라고 한다.

  • 임의의 유한 집합 및 두 전단사 함수 에 대하여, 확률 분포는 같다.
  • 임의의 및 두 단사 함수 에 대하여, 확률 분포는 같다.

데 피네티 정리(영어: de Finetti’s theorem)에 따르면, 만약 가산 무한 집합일 경우, 다음 네 조건이 서로 동치이다.[1]:232, §7.3, Theorem 2

  • 는 교환 가능 확률 변수족이다.
  • 는 어떤 사건 시그마 대수 에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
  • 꼬리 시그마 대수 에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
  • 에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.

성질[편집]

교환 가능 확률 변수열이 주어졌을 때, 만약 모든 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이라면, 모든 교환 가능 사건의 확률 역시 0 또는 1이다. 특히, (콜모고로프 0-1 법칙에 따라 독립 동일 분포 확률 변수열의 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이므로,) 독립 동일 분포 확률 변수열의 교환 가능 사건의 확률은 0 또는 1이다. 이 특수한 경우를 휴잇-새비지 0-1 법칙(영어: Hewitt–Savage zero–one law)이라고 한다.

[편집]

실수 값의 확률 변수열의 모든 꼬리 사건은 교환 가능 사건이다.

모든 독립 동일 분포 확률 변수열은 교환 가능 확률 변수열이다.

역사[편집]

데 피네티 정리는 브루노 데 피네티(이탈리아어: Bruno de Finetti)의 이름을 땄다. 휴잇-새비지 0-1 법칙은 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt)과 레너드 지미 새비지(영어: Leonard Jimmie Savage)의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

  1. Chow, Yuan Shih; Teicher, Henry (1997). 《Probability Theory. Independence, Interchangeability, Martingales》. Springer Texts in Statistics (영어) 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1950-7. ISBN 978-0-387-40607-7. ISSN 1431-875X. Zbl 0891.60002. 

외부 링크[편집]