국소 연결 공간: 두 판 사이의 차이
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* James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall. |
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[[분류:일반위상수학]] |
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2011년 3월 19일 (토) 00:24 판
국소 연결공간(locally connected space, 局所 連結空間)은 위상공간으로서, 연결공간을 국소화시킨 개념이다. 다음과 같이 정의한다.[1]
- 국소 연결공간은 모든 점에서 국소 연결인 공간이다.
여기서, 위상공간 X가 어떤 점 x에서 국소 연결이라는 것은 다음과 같이 정의한다.[1]
- x의 임의의 근방에 대해, 이 근방에 포함되는 x의 연결된 근방이 존재한다.
유사하게 국소 호상연결공간(locally path connected space)도 정의할 수 있다. 그 정의는 위의 정의에서 '연결'을 '호상연결'로 바꾸어 주기만 하면 된다.[1]
성질
- 연결공간은 국소 연결공간이다.
- 호상연결공간은 국소 호상연결공간이다.
- 국소 호상연결공간은 국소 연결공간이다.
- 위상공간 X가 국소 연결공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 연결성분이 X에서 열린 집합인 것이다.[1]
- 위상공간 X가 국소 호상연결공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 호상연결성분이 X에서 열린 집합인 것이다.[1]
- 국소 호상연결공간에서 연결성분과 호상연결성분은 동치인 개념이다.[1]
- 국소 호상연결공간의 열린 연결 부분공간은 호상연결공간이다.[2]
- 국소 연결공간 X와 위상공간 Y에 대해 X에서 Y로의 몫사상이 존재한다면, Y도 국소연결공간이다.[3]
주석
참고 문헌
- James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.