디리클레 급수: 두 판 사이의 차이
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'''디리클레 급수'''는 [[복소수]] <math>s</math>, 복소 수열 <math>\{a_n\}</math>에 대하여 |
'''디리클레 급수'''(Dirichlet series)는 [[복소수]] <math>s</math>, 복소 수열 <math>\{a_n\}</math>에 대하여 |
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:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math> |
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math> |
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로 정의되는 급수이다. 디리클레 급수는 [[해석적 수론]]에서 중요한 위치를 차지하며, 많은 중요한 함수가 디리클레 급수의 형태로 정의되어 있다. |
로 정의되는 급수이다. 디리클레 급수는 [[해석적 수론]](analytic number theory)에서 중요한 위치를 차지하며, 많은 중요한 함수가 디리클레 급수의 형태로 정의되어 있다. |
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== 예 == |
== 예 == |
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[[리만 제타 함수]]는 디리클레 급수의 한 예로, 다음과 같이 정의된다. |
[[리만 제타 함수]]는 디리클레 급수의 한 예로, 다음과 같이 정의된다. |
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:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}</math> |
:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}</math> |
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리만 제타 함수의 역수는 다음의 디리클레 급수로 표현할 수 있다. |
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:<math>\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}</math> |
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여기서 <math>\mu(n)</math>은 [[뫼비우스 함수]]이다. 또한, 제타함수의 로그는 다음과 같이 표현할 수 있다. |
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:<math>\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}</math> |
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여기서 <math>\Lambda(n)</math>은 [[망골트 함수]](Mangoldt function)이다. 또한, 제타함수의 로그도함수(Logarithmic derivative)를 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다. |
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:<math>\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.</math> |
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== 미분 == |
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다음과 같이 주어진 디리클레 급수가 있다고 하자. |
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:<math>F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}</math> |
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이 경우 디리클레 급수의 미분은 다음과 같이 표현된다. |
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:<math>F'(s) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}</math> |
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이 결과를 리만 제타 함수에 적용하면 다음과 같이 된다. 실수부가 1보다 클 때, 리만 제타 함수의 정의는 디리클레 급수로 표현된다. 따라서 그 미분을 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다. |
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:<math>\zeta'(s) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}</math> |
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여기서 제타함수의 로그도함수를 계산하기 위해서 [[산술의 기본정리]]에 의해 즉시 도출되는 다음 등식을 활용한다. |
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:<math>\sum_{d|n}\Lambda(d) = log n</math> |
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물론 여기서 <math>\Lambda(n)</math>은 망골트 함수이다. 결국 두 급수를 곱해주면 다음 등식이 성립한다. |
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:<math>\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.</math> |
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이 식은 [[소수 정리]]를 증명하는 과정에서 쓰인다.<ref name="Introduction to Analytic Number Theory">{{서적 인용 |
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| 성 = Apostol |
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| 이름 = Tom |
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| 제목 = Introduction to Analytic Number Theory |
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| 꺾쇠표 = |
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| 출판사 = Springer |
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| 발행년도 = 1998 |
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| 쪽 = 236 |
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| doi = |
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| id = ISBN 978-0387901633 |
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}}</ref> |
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== 관련 항목 == |
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* [[오일러의 곱셈 공식]] |
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* [[리만 제타 함수]] |
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* [[소수 정리]] |
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== 주석 == |
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<references/> |
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[[분류:급수]] |
[[분류:급수]] |
2009년 11월 13일 (금) 21:36 판
디리클레 급수(Dirichlet series)는 복소수 , 복소 수열 에 대하여
로 정의되는 급수이다. 디리클레 급수는 해석적 수론(analytic number theory)에서 중요한 위치를 차지하며, 많은 중요한 함수가 디리클레 급수의 형태로 정의되어 있다.
예
리만 제타 함수는 디리클레 급수의 한 예로, 다음과 같이 정의된다.
리만 제타 함수의 역수는 다음의 디리클레 급수로 표현할 수 있다.
여기서 은 뫼비우스 함수이다. 또한, 제타함수의 로그는 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서 은 망골트 함수(Mangoldt function)이다. 또한, 제타함수의 로그도함수(Logarithmic derivative)를 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.
미분
다음과 같이 주어진 디리클레 급수가 있다고 하자.
이 경우 디리클레 급수의 미분은 다음과 같이 표현된다.
이 결과를 리만 제타 함수에 적용하면 다음과 같이 된다. 실수부가 1보다 클 때, 리만 제타 함수의 정의는 디리클레 급수로 표현된다. 따라서 그 미분을 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.
여기서 제타함수의 로그도함수를 계산하기 위해서 산술의 기본정리에 의해 즉시 도출되는 다음 등식을 활용한다.
물론 여기서 은 망골트 함수이다. 결국 두 급수를 곱해주면 다음 등식이 성립한다.
관련 항목
주석
- ↑ Apostol, Tom. 《Introduction to Analytic Number Theory》. Springer. 236쪽. ISBN 978-0387901633.