순환군: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
→분류: 오타를 고침 태그: m 모바일 앱 거짓된 편집 요약의 문서 훼손 가능성 |
잔글편집 요약 없음 |
||
1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
[[군론]]에서, '''순환군'''(循環群, {{llang|en|cyclic group}})은 하나의 |
[[군론]]에서, '''순환군'''(循環群, {{llang|en|cyclic group}})은 하나의 원소가 생성하는 [[군 (수학)|군]]이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 고정된 하나의 원소의 거듭제곱(가법군의 경우 정수 배)이다. |
||
⚫ | |||
순환군을 생성하는 원소 <math>a</math>를 '''생성원'''(generator)이라고 부르며, <math>a^m</math>이 [[항등원]]이 되는 가장 작은 자연수 <math>m</math>을 그 순환군의 '''위수'''라고 정의한다. |
|||
군의 원소 <math>g\in G</math>가 생성하는 '''순환군''' <math>\langle g\rangle</math>은 다음과 같다. |
|||
:<math>\langle g\rangle=\{g^n\colon n\in\mathbb Z\}\le G</math> |
|||
순환군을 생성하는 원소를 '''생성 원소'''(生成元素, {{llang|en|generating element}}) 또는 '''생성원'''(生成元, {{llang|en|generator}})이라고 한다. 유한 개의 원소의 순환군을 '''유한 순환군''', 무한 개의 원소의 순환군을 '''무한 순환군'''이라고 한다. |
|||
군의 원소 <math>g\in G</math>의 '''[[위수 (수학)|위수]]'''(位數, {{llang|en|order}})는 <math>g</math>가 생성하는 순환 부분군의 [[집합의 크기|크기]]이다. [[항등원]]이 되는 가장 작은 거듭제곱 지수와 같다. 즉, |
|||
:<math>\operatorname{ord}g=|\langle g\rangle|=\min\{n\in\mathbb N\sqcup\{\aleph_0\}\colon g^n=1\}</math> |
|||
== 분류 == |
== 분류 == |
||
순환군은 정수 군 또는 그 잉여류 군과 [[동형]]이다. 무한 순환군은 정수 군과 동형이며, 유한 순환군은 정수 잉여류 군과 동형이다. |
|||
임의의 순환군은 다음의 두가지 종류의 순환군 중 하나와 반드시 [[동형사상|동형]]이다. |
|||
:<math>\langle g\rangle\cong\begin{cases}\mathbb Z&\operatorname{ord}g=\aleph_0\\\mathbb Z/n\mathbb Z&\operatorname{ord}g=n<\aleph_0\end{cases}</math> |
|||
* <math>Z = \{ \cdots, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}</math>. 이를 '''무한 순환군'''(無限循環群, {{llang|en|infinite cyclic group}})이라고 한다. |
|||
* <math>Z/nZ = \{ \bar{0}, \bar{1}, \cdots, \bar{n-1} \}</math>: 정수들의 집합을 <math>n</math>으로 나눈 나머지들의 집합. |
|||
<math>Z</math>는 원소의 개수가 무한하다. 위수는 자연수 범위에서 정의되지 않으며 이를 <math>\infty</math>로 표기하기도 한다. |
|||
== 성질 == |
|||
<math>Z/nZ</math>는 [[유한군]]으로, 위수(order)는 <math>n</math>으로 원소의 개수와 동일하다. |
|||
순환군은 항상 [[아벨 군]]이다. |
|||
⚫ | |||
<math>Z/nZ</math>의 경우, 교과서에 따라서는 <math>Z/n</math> 혹은 <math>Z_n</math>라고 표기하기도 한다. 그러나 <math>Z_n</math>의 경우, n-adic 수와 혼란을 줄 가능성이 있어서 어떤 수학자들은 이 표기에 대해서 동의하지 않기도 한다. |
|||
순환군 <math>\langle g\rangle</math>의 부분군은 항상 순환군이다. 순환군의 부분군의 집합은 정확히 다음과 같다. |
|||
⚫ | |||
:<math>\begin{cases} |
|||
⚫ | |||
\{\langle g^n\rangle\colon n\in\mathbb N\}&\operatorname{ord}g=\aleph_0\\ |
|||
\{\langle g^n\rangle\colon n\mid\operatorname{ord}g\}&\operatorname{ord}g\in\mathbb N |
|||
\end{cases}</math> |
|||
이에 따라, 무한 순환군의 부분군은 자연수와 일대일 대응하며, 유한 순환군의 부분군은 위수의 [[약수]]와 일대일 대응한다. |
|||
순환군 <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> 및 <math>\mathbb Z/m\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다. |
|||
* <math>\gcd\{\operatorname{ord}g,\operatorname{ord}h\}=1</math> |
|||
* <math>\mathbb Z/n\mathbb Z\times\mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z/nm\mathbb Z</math> |
|||
* <math>\mathbb Z/n\mathbb Z\times\mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z/k\mathbb Z</math>인 <math>k\in\mathbb N</math>이 존재한다. |
|||
== 바깥 고리 == |
== 바깥 고리 == |
2016년 11월 26일 (토) 07:33 판
군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소가 생성하는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 고정된 하나의 원소의 거듭제곱(가법군의 경우 정수 배)이다.
정의
군의 원소 가 생성하는 순환군 은 다음과 같다.
순환군을 생성하는 원소를 생성 원소(生成元素, 영어: generating element) 또는 생성원(生成元, 영어: generator)이라고 한다. 유한 개의 원소의 순환군을 유한 순환군, 무한 개의 원소의 순환군을 무한 순환군이라고 한다.
군의 원소 의 위수(位數, 영어: order)는 가 생성하는 순환 부분군의 크기이다. 항등원이 되는 가장 작은 거듭제곱 지수와 같다. 즉,
분류
순환군은 정수 군 또는 그 잉여류 군과 동형이다. 무한 순환군은 정수 군과 동형이며, 유한 순환군은 정수 잉여류 군과 동형이다.
성질
순환군은 항상 아벨 군이다.
원소 개수가 소수인 군은 유일하게 순환군이자 단순군이다.
순환군 의 부분군은 항상 순환군이다. 순환군의 부분군의 집합은 정확히 다음과 같다.
이에 따라, 무한 순환군의 부분군은 자연수와 일대일 대응하며, 유한 순환군의 부분군은 위수의 약수와 일대일 대응한다.
순환군 및 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 인 이 존재한다.
바깥 고리
- “Cyclic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Cyclic group”. 《nLab》 (영어).
이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다. |