하이젠베르크 군

수학에서, 하이젠베르크 군(영어: Heisenberg group)은 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.

정의

심플렉틱 벡터공간 $(V,\omega )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 집합 $V\times \mathbb {R}$에 다음과 같은 군 연산을 주자.

$(\mathbf {u} ,s)\cdot (\mathbf {v} ,t)=(\mathbf {u} +\mathbf {v} ,s+t+\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )/2)$

이는 군의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 $H(V)$라고 한다. 이는 (아벨 군으로서의) $V$의 중심확대이다. 즉, 다음과 같은 아벨 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to \mathbb {R} \xrightarrow {t\mapsto (\mathbf {0} ,t)} H(V)\xrightarrow {(\mathbf {v} ,t)\mapsto \mathbf {v} } V\to 0$

만약 $V$가 유한차원이라면, 하이젠베르크 군 $H(V)$를 행렬군으로 나타낼 수 있다. $\dim V=2n$이고, 또한

$(p,q),(p',q')\in V$

$\omega \colon (p,q)=pq'-p'q$

라고 하자. 그렇다면 $H(V)$를 다음과 같은 꼴의 행렬들의 군으로 생각할 수 있다.

${\begin{pmatrix}1&p&t+pq/2\\0&I_{n\times n}&q\\0&0&1\end{pmatrix}}\in H(\mathbb {R} ^{2n})=H_{2n+1}(\mathbb {R} )\subset \operatorname {GL} (2n+1;\mathbb {R} )$

보통 $V$가 명시되어 있지 않은 경우, $n=1$인 경우에 해당한다. 즉, $H_{3}(\mathbb {R} )\subset \operatorname {GL} (3;\mathbb {R} )$를 의미한다.

바깥 고리

• “하이젠베르크 군과 대수”.