타원 곡면

대수기하학에서 타원 곡면(橢圓曲面, 영어: elliptic surface)은 거의 모든 곳에서 타원 곡선을 올로 하는 올다발이 주어진 곡면이다.

정의[편집]

타원 곡면은 타원 다발(elliptic fibration)이 주어진 곡면이다. 여기서 타원 다발이란 타원 곡면에서 대수 곡선으로 가는, 고유(영어: proper) 연결(영어: connected) 매끄러운 사상에 대해 그곳의 거의 모든 올이 타원곡선인 올다발이다. 타원 곡선이 아닌 올은 특이올(singular fiber)이라고 한다.

특성[편집]

대수 곡면의 엔리퀘스-고다이라 분류 가운데, 타원 곡면은 상당히 중요한 종류이다. 이는 대수 곡면의 중요한 예로서, 복소다양체론과 4차원 매끄러운 다양체 이론에서 상대적으로 잘 이해되는 분류이다. 이는 대수적 수체 위의 타원곡선과 비슷하여, 여기에서 많은 성질을 유추할 수 있다.

예[편집]

임의의 타원 곡선과 임의의 곡선의 곱공간은 타원 곡면이다. 여기에는 특이올이 없다.
고다이라 차원이 1인 모든 대수 곡면은 타원 곡면이다.
모든 엔리퀘스 곡면(Enriques surface)은 타원 곡면을 이루며, 사영 직선 위에 타원 다발을 갖는다.
고다이라 곡면

특이올의 분류[편집]

특이올(영어: singular fiber)의 종류는 유한하다. 이들은 유리 곡선(rational curves)의 합집합이며, 특이점을 갖거나 0이 아닌 중첩수(multiplicities)를 갖는다 (따라서 해당하는 다발은 비축소 스킴이다). 타원 곡면의 특이올의 분류는 고다이라 구니히코^[1]^[2]와 앙드레 네롱^[3] 이 발견하였다. 특이올의 구조는 존 테이트의 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다.

다음은 가능한 최소(minimal) 특이올의 목록이다. 여기서 "최소 특이올"이란 대략 "최소 곡선을 갖지 않는"이라는 뜻이다. 이 목록은 다음과 같다. 여기서 나열된 성질은 다음과 같다.

다발의 고다이라 부호
다발의 네롱 부호
다발의 기약 원의 개수 (I₀형 빼고는 모두 유리수)
원의 교차 행렬. 즉 1×1의 영행렬이거나, 딘킨 도표가 주어진 아핀 카르탕 행렬이다.

고다이라 부호	네롱 부호	기약 성분수	교차 행렬
I₀	A	1 (elliptic)	0
I₁	B₁	1 (with double point)	0
I_v (v≥2)	B_v	v (v distinct intersection points)	affine A_v-1
_mI_v (v≥0, m≥2)		I_v with multiplicity m
II	C₁	1 (with cusp)	0
III	C₂	2 (meet at one point of order 2)	affine A₁
IV	C₃	3 (all meet in 1 point)	affine A₂
I₀^*	C₄	5	affine D₄
I_v^* (v>0)	C_5,v	5+v	affine D_4+v
IV^*	C₆	7	affine E₆
III^*	C₇	8	affine E₇
II^*	C₈	9	affine E₈

이를 구하는 방법은 다음과 같다. 기하학적으로, 다발의 원의 교차 행렬은 음의 반정부호(영어: negative semidefinite)여야 하며, 연결되고, 대칭이며, 대각선에는 $-1$ 이 없어야 한다(최소성으로부터). 그러한 행렬은 영행렬이거나 A·D·E형 딘킨 도표의 카르탕 행렬이어야 한다.

교차 형렬은 특이올의 종류를 결정하는데, 단 다음과 같은 세 예외가 있다.

만약 교차 행렬이 영행렬이면 특이올은 타원 곡선이거나 (I₀), 이중점이 있거나(type I₁), 커스프(cusp)(type II)이다.
만약 교차 행렬이 아핀 A₁이면, 2개의 원이 다중치 2이다. 이들은 차수가 1인 두 점에서 만나거나 (type I₂), 차수가 2인 한 점에서 만난다(type III).
만약 교차 행렬이 아핀 A₂이면, 3개의 원이 2점끼리 만난다. 이들은 3개의 서로 다른 점이거나 (type I₃), 모두가 한 점에서 만난다 (type IV).

이 목록이 모든 비중복(non-multiple) 특이올 전부이다. 중복(multiple) 특이올은 단일 연결이 아닌 다발에만 존재하며, 이는 I_v형 다발이다.

참고 문헌[편집]

↑ Kodaira, Kunihiko (1964). “On the structure of compact complex analytic surfaces I”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 86: 751–798. Zbl 0137.17501.
↑ Kodaira, Kunihiko (1966). “On the structure of compact complex analytic surfaces II”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 88: 682–721. Zbl 0193.37701.
↑ Néron, André (1964). “Modeles minimaux des variétés abeliennes sur les corps locaux et globaux”. 《Publications mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 21: 5–128. MR 0179172. Zbl 0132.41403.

Barth, Wolf P.; Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. 《Compact complex surfaces》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 4 2판. Berlin: Springer. ISBN 3-540-00832-2. Zbl 1036.14016. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

같이 보기[편집]

엔리퀘스-고다이라 분류

외부 링크[편집]

“Elliptic surface”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Elliptic fibration”. 《nLab》 (영어).

[1] Kodaira, Kunihiko (1964). “On the structure of compact complex analytic surfaces I”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 86: 751–798. Zbl 0137.17501.

[2] Kodaira, Kunihiko (1966). “On the structure of compact complex analytic surfaces II”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 88: 682–721. Zbl 0193.37701.

[3] Néron, André (1964). “Modeles minimaux des variétés abeliennes sur les corps locaux et globaux”. 《Publications mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 21: 5–128. MR 0179172. Zbl 0132.41403.

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