칸토어 집합 (집합론)

집합론에서, 칸토어 집합(영어: Cantorian set)은 모든 원소에 한원소 집합을 취하여 얻는 집합과 크기가 같은 집합이다.

정의

집합 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 칸토어 집합이라고 한다.

$|\{\{x\}\colon x\in X\}|=|X|$

집합 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 강한 칸토어 집합(영어: strongly Cantorian set)이라고 한다.

• $\{(x,\{x\})\colon x\in X\}$는 집합이다.

성질

새 기초에서, 다음 세 명제들이 서로 동치이며, 이는 새 기초에서 증명 불가능하다.^{:31, Proposition 2.1.3}

• 모든 유한 집합은 칸토어 집합이다.
• 모든 유한 집합은 강한 칸토어 집합이다.
• 강한 칸토어 집합인 무한 집합이 존재한다.

예

체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 집합은 칸토어 집합이자 강한 칸토어 집합이다.

새 기초에서, 콰인-로서 자연수 집합 $\mathbb {N}$은 칸토어 집합이다. $\mathbb {N}$이 강한 칸토어 집합이라는 명제를 셈 공리(영어: axiom of counting)라고 한다. 이는 (새 기초가 무모순적이라면) 새 기초와 독립적이다.

칸토어 역설에 따라, 새 기초에서 모든 집합의 집합 $V=\{x\colon x=x\}$는 칸토어 집합이 아니다. 부랄리포르티 역설에 따라, 새 기초에서 모든 순서수의 집합 $\operatorname {Ord}$는 칸토어 집합이 아니다.