중심이항계수

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수학에서, 중심이항계수(中心二項係數, central binomial coefficient)는 짝수 차 이항식의 가운데 항의 계수이다. 즉 파스칼의 삼각형의 각 짝수 번째 줄의 중심에 위치하는 수이다. n번째 중심이항계수는 다음과 같은 이항계수이다.

{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}

n = 0부터 시작한 처음 몇 항은 다음과 같다.

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 432, 12870, 48620, ... (OEIS의 수열 A000984)

성질[편집]

중심이항계수는 다음 생성함수(generating function)의 계수로 표현된다.

\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.

스털링 근사에 의해 다음을 얻는다.

 {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} as n\rightarrow\infty.

다음 부등식이 성립한다.

\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \leq {2n \choose n} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}} for all n \geq 1

카탈랑 수에서도 등장한다. 모든 자연수 n에 대해, 카탈란 수의 n번째 항 C_n

C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} - {2n \choose n+1}

이 성립한다.

베르트랑의 공준를 증명할 때, 중심이항계수의 성질로부터 시작한다. 또한, 아페리 상수무리수임을 증명할 때 쓰이는 급수에 등장한다.

같이 보기[편집]

참고[편집]