준동형 정리

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추상대수학에서, 준동형 정리(準同型定理, 영어: homomorphism theorem)는 수학의 여러 분야에서 나타나는 준동형에 관한 기초적인 정리이다. 동형 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 증명하는 데 이용되기도 한다.

정의[편집]

같은 형의 대수 구조 및 그 사이의 준동형 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 위에 합동 관계

로 정의할 수 있다. 보다 더 고른 위의 합동 관계라고 하자. 즉,

라고 하자. 또한, 가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 준동형 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

  • 준동형 가 유일하게 존재한다.
  • 만약 전사 함수라면 역시 전사 함수이다.
  • 만약 라면, 단사 함수이다.

이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

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이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수 구조에 대하여 성립한다.

군에 대한 형태[편집]

군 준동형 정규 부분군 가 있고, 라고 하자. 가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.[1]

  • 군 준동형 가 유일하게 존재한다.
  • 만약 전사 함수라면 역시 전사 함수이다.
  • 만약 라면, 단사 함수이다.

환에 대한 형태[편집]

환 준동형 아이디얼 가 있고, 이라고 하자. 또한, 가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  • 환 준동형 가 유일하게 존재한다.
  • 만약 전사 함수라면 역시 전사 함수이다.
  • 만약 이라면, 단사 함수이다.

가군에 대한 형태[편집]

왼쪽 가군 사이의 가군 준동형 의 부분 가군 가 있고, 이라고 하자. 또한, 가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  • 인 가군 준동형 이 유일하게 존재한다.
  • 만약 가 전사 함수라면 역시 전사 함수이다.
  • 만약 이라면, 는 단사 함수이다.

참고 문헌[편집]

  1. Joseph A. Gallian (2006), Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company(Boston, New York), p.206.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]