주축정리

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주축정리(the principal axis theorem, 主軸定理)는 선형대수학정리이다. 행렬을 사용하여 이차형식을 기술하는 문제에서 발생하는 것인데, 간단히 말해 이 정리는 어떤 이차형식이든 적절한 변수 변환을 통해 혼합항이 없는 형태로 표현할 수 있음을 보장하는 정리이다.

공식화[편집]

n×n 대칭행렬 A에 의하여 주어진 변수 X = (x1, ..., xn)T에 대한 이차형식 \phi(X) = X^{T}AX 이 있다고 하자. 그러면, 적당한 직교행렬 P가 존재하여 P^{T}AP = D대각행렬이 된다. 이제 P를 사용하여 다음과 같이 변수변환을 하면,

P^{-1}X = Y = (y_1, y_2, ..., y_n)^{T}

이상의 이차형식은 X^{T}AX = Y^{T}DY 와 같이 기술할 수 있는데, D가 대각행렬이므로 이 이차형식은 혼합항이 없는 형태이다. 즉,

Y^{T}DY = \lambda_1y_1^2 + ... + \lambda_ny_n^2

와 같이 된다. 여기서 λi 들은 물론 A의 고유값이다.[1]

응용[편집]

주축정리에 의해 임의의 이차형식은 혼합항이 없는 꼴로 변수변환하여 쓸 수 있음이 보장되므로, 이차곡선이차곡면 등을 다룰 때에는 혼합항을 무시해도 좋다. 즉,

  • 임의의 이차곡선은 적절한 변수변환에 의해 Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 의 형태로 쓸 수 있다.
  • 임의의 이차곡면은 적절한 변수변환에 의해 Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 의 형태로 쓸 수 있다.

만약 A, B 혹은 (이차곡면의 경우) C가 0이 아니라면, 다시 간단한 인수분해 공식에 의해 해당하는 변수는 이차항과 상수만 남도록 한 번 더 변환할 수 있다. 이를 통해 이차곡선과 이차곡면을 분류할 수 있으며, 더 높은 차원에 대해서도 마찬가지로 할 수 있다.[2]

주석[편집]

  1. 조용욱, 《선형대수학원론》, 교우사, 2002, 424-425쪽.
  2. 같은 책, 442-445쪽, 451-455쪽.

참고 문헌[편집]

  • 조용욱, 《선형대수학원론》, 교우사, 2002.