점과 직선 사이의 거리

점과 직선 사이의 거리는 점에서 직선에 이를 수 있는 가장 가까운 거리를 의미한다. 점에서 직선에 수선의 발을 내릴 때, 그 점과 수선의 발을 이은 선분의 길이와도 같다.

공식

직선의 방정식

직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$ax + by + c = 0$

이 때 $a$ , $b$ , $c$ 는 모두 실수 상수이고 $a$ 와 $b$ 는 동시에 0이 될 수 없다. 이 직선에서 점 $(x 0, y 0)$ 까지의 거리는 다음과 같다.^[1]^[2]^:p.14

{\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

이 때 점 $(x 0, y 0)$ 과 가장 가까운 직선상의 좌표, 즉 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표는 다음과 같다.^[3]

x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{, }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}

수직선과 수평선의 경우

위에서 $a$ 와 $b$ 가 동시에 0이 될 수 없다고 했는데, 이 경우 직선이 정의되지 않기 때문이다. 하지만 $a$ 나 $b$ 둘 중 하나만 0이 될 수는 있다. $a$ 가 0인 경우 직선의 방정식은 $y = - c / b$ 이 되어 수평선의 형태를 띈다. 이 때 점 $(x 0, y 0)$ 로부터의 거리는 단순히 선분의 길이를 재면 되고, 그 결과 $| y 0 - (- c / b)| = | by 0 + c | / | b |$ 로 나타난다. 이와 비슷하게 $b$ 만 0인 경우에는 직선이 수직선이 되어 점과 직선 사이의 거리는 $| ax 0 + c | / | a |$ 가 된다.

두 점을 지나는 직선에 대해

방정식이 아니라 두 점 $P 1 = (x 1, y 1)$ 과 $P 2 = (x 2, y 2)$ 를 지난다고 정의된 직선의 경우를 한 번 살펴보자. 이 경우 점 $(x 0, y 0)$ 과 직선 사이의 거리는 다음과 같다.^[4]

{\frac {|(x_{2}-x_{1})(y_{1}-y_{0})-(x_{1}-x_{0})(y_{2}-y_{1})|}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}

여기서 분모는 점 $P 1$ 와 $P 2$ 사이의 거리를 나타낸다. 분자는 세 점 $(x 0, y 0)$ , $P 1$ , $P 2$ 가 이루는 삼각형의 넓이의 2배와도 같다. 밑변의 길이가 $b$ , 높이가 $h$ 라고 할 때 삼각형의 넓이가 $A = 1 / 2 bh$ 인 것을 생각해보자. 이 때 점과 직선 사이의 거리는 이 식에서 $h$ 를 남기고 나머지를 이항한 $h = 2 A / b$ 과 다름 없다.

증명

대수적 증명

이 증명은 $a$ 와 $b$ 가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다.

$ax + by + c = 0$ 이 나타내는 직선의 기울기는 $- a / b$ 이므로, 그 직선에 수직한 직선의 기울기는 $b / a$ 이다. 이 때 점 $(x 0, y 0)$ 을 지나고 기울기가 $b / a$ 인 직선이 $ax + by + c = 0$ 와 만나는 교점을 $(m, n)$ 이라 해보자. 그러면 기울기의 정의에 의해 다음의 식이 성립한다.

{\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}

따라서 $a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0$ 이고, 양변을 제곱하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)

이제 다음을 생각해보자.

{\begin{aligned}(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}&=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\right)\end{aligned}}

여기에 $(m, n)$ 이 $ax + by + c = 0$ 위의 점이기 때문에 다음의 식도 성립한다.

(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}

즉 이 둘을 연립하면 아래의 식이 나온다.

\left(a^{2}+b^{2}\right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\right)=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}

유클리드 거리의 정의에 의해 $(m, n)$ 과 $(x 0, y 0)$ 의 거리는 다음과 같이 유도된다.

d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

^[5]

기하학적 증명

이 증명은 $a$ 와 $b$ 가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다.^[6]

점 $P(x 0, y 0)$ 에서 직선 $Ax + By + C = 0$ 에 내린 수선의 발을 $R$ 이라 하자. 또 $P$ 에서 y축에 평행한 직선을 내려 직선과 만나는 교점을 $S$ 라 하자. 직선에서 임의의 점 $T$ 를 잡아 우측 그림과 같이 직각삼각형 $∆TVU$ 를 만들자. 이 때 직선의 기울기는 $-A/B$ 로 쓸 수 있다.

$∆PRS$ 와 $∆TVU$ 는 $∠PSR = ∠TUV$ 인고로 세 내각이 모두 같아 서로 닮음이다.^[7] 이에 따라 다음의 공식이 성립한다.

{\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}

점 $S$ 의 좌표를 $(x 0, m)$ 라 할 때 선분 $PS, TV, TU$ 의 길이를 고려하면 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

|{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}

이 때 $S$ 가 놓여있는 직선의 방정식을 알기 때문에 $m$ 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}}

따라서 최종적으로 다음의 식을 얻는다.^[8]

|{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}

벡터의 사영을 사용한 증명

점 $P(x 0, y 0)$ 와 직선 $ax + by + c = 0$ 사이의 거리를 구하고 싶다고 해보자. 이 때 직선에서 임의의 점 $Q(x 1, y 1)$ 을 잡고 이를 출발점으로 직선에 수직한 벡터 $n =(a, b)$ 을 잡는다. 점 $P$ 와 직선 사이의 거리는 ${\overrightarrow {QP}}$ 를 $n =(a, b)$ 에 정사영한 길이와 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}

${\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})$ 이므로 ${\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})$ 이다. $\|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ 이므로 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

이 때 $Q(x 1, y 1)$ 가 놓인 직선의 방정식을 알기 때문에 식은 최종적으로 다음과 같다.^[9]

d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

같이 보기

꼬인 위치

각주

↑ Larson & Hostetler 2007, p. 452
↑ Spain 2007
↑ Larson & Hostetler 2007, p. 522
↑ Sunday, Dan. “Lines and Distance of a Point to a Line”. softSurfer. 2021년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 12월 6일에 확인함.
↑ Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples
↑ Ballantine & Jerbert 1952 do not mention this restriction in their article
↑ If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles.
↑ Ballantine & Jerbert 1952
↑ Anton 1994, pp. 138-9

참고 문헌

Anton, Howard (1994), 《Elementary Linear Algebra》 7판, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
Ballantine, J.P.; Jerbert, A.R. (1952), “Distance from a line or plane to a point”, 《American Mathematical Monthly》 59: 242–243, doi:10.2307/2306514
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), 《Precalculus: A Concise Course》, Houghton Mifflin Co., ISBN 0-618-62719-7
Spain, Barry (2007) [1957], 《Analytical Conics》, Dover Publications, ISBN 0-486-45773-7

읽을 거리

Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2013), 《Encyclopedia of Distances》 2판, Springer, 86쪽, ISBN 9783642309588

[1] Larson & Hostetler 2007, p. 452

[2] Spain 2007

[3] Larson & Hostetler 2007, p. 522

[GEO-4] Sunday, Dan. “Lines and Distance of a Point to a Line”. softSurfer. 2021년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 12월 6일에 확인함.

[5] Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples

[6] Ballantine & Jerbert 1952 do not mention this restriction in their article

[7] If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles.

[8] Ballantine & Jerbert 1952

[9] Anton 1994, pp. 138-9

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