군론에서 자기쌍대군(自己雙對群, 영어: self-dual group)은 모든 부분군이 어떤 몫군과 동형이며, 마찬가지로 모든 몫군이 어떤 부분군과 동형인 군이다.
군
가 다음 조건을 만족시키면 s-자기쌍대군(영어: s-self-dual group)이라고 한다.
- (부분군이 몫군과 동형) 임의의
에 대하여,
인
가 존재한다.
군
가 다음 조건을 만족시키면 q-자기쌍대군(영어: q-self-dual group)이라고 한다.
- (몫군이 부분군과 동형) 임의의
에 대하여,
인
가 존재한다.
s-자기쌍대군인 q-자기쌍대군을 자기쌍대군이라고 한다. 즉, 자기쌍대군은 부분군의 동형류의 집합과 몫군의 동형류의 집합이 일치하는 군이다.
모든 s-자기쌍대군은 멱영군이다. s-자기쌍대군의 부분군은 s-자기쌍대군이다. 자기쌍대 아벨 군의 꼬임 부분군은 자명하지 않다.
모든 유한 아벨 군은 자기쌍대군이다.
자기쌍대군은 매우 제한적인 형태를 취한다. 특수한 종류의 자기쌍대군의 구조 정리로는 다음이 있다.
유한 자기쌍대군[편집]
모든 유한 자기쌍대군
는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.[1]:Theorem 2[2]:Corollary 7.2
![{\displaystyle G=\prod _{p}S_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0928d1b5f69f802743ed1c7dfc58f2dde6a23c)
여기서
는 소수이다.
인 경우,
는 아벨 p-군이다.
인 경우,
는 아벨 p-군이거나,
이다.
모든 유한 s-자기쌍대군
는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.[1]:Theorem 2[2]:Theorem 7.1
![{\displaystyle G=\prod _{p}S_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0928d1b5f69f802743ed1c7dfc58f2dde6a23c)
여기서
는 소수이다.
인 경우,
는 아벨 p-군이거나, 표시
를 갖는 군과 지수
미만의 아벨 p-군의 직접곱이다.
인 경우,
는 아벨 p-군이거나, 표시
를 갖는 군과 지수
미만의 아벨 p-군의 직접곱이거나,
이다.
가산 아벨 자기쌍대군[편집]
계수가 0인 가산 아벨 자기쌍대군
는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[3]:Theorem 1, III
![{\displaystyle G=\bigoplus _{p}S_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0270f7656be4e610c9aaeeb76b7863881f97940)
여기서
는 소수이다.
는 다음 두 형태 가운데 하나다.
(
)
. 여기서
는 프뤼퍼 군이며,
는
를 부분군으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 p-군이다.
0이 아닌 유한 계수의 가산 아벨 자기쌍대군
는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[3]:Theorem 1, IV
![{\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{p}{(\mathbb {Z} (p^{\infty })^{\oplus \aleph _{0}}\oplus B_{p})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54190a49e8ad7d227690e368d0f2ef4f355040d3)
여기서
는 소수이다.
는
를 부분군으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 p-군이다.
계수가 무한한 가산 아벨 자기쌍대군
는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[3]:Theorem 1, IV
![{\displaystyle G=U\oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Q} \oplus \mathbb {Z} )^{\oplus \aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4d55533de47cd2dd430223a0d96e61e40ada5b)
여기서
는 임의의 가산 아벨 군이다.
참고 문헌[편집]