자기쌍대군

군론에서 자기쌍대군(自己雙對群, 영어: self-dual group)은 모든 부분군이 어떤 몫군과 동형이며, 마찬가지로 모든 몫군이 어떤 부분군과 동형인 군이다.

정의

군 $G$가 다음 조건을 만족시키면 s-자기쌍대군(영어: s-self-dual group)이라고 한다.

• (부분군이 몫군과 동형) 임의의 $H\leq G$에 대하여, $H\cong G/N$인 $N\vartriangleleft G$가 존재한다.

군 $G$가 다음 조건을 만족시키면 q-자기쌍대군(영어: q-self-dual group)이라고 한다.

• (몫군이 부분군과 동형) 임의의 $N\vartriangleleft G$에 대하여, $H\cong G/N$인 $H\leq G$가 존재한다.

s-자기쌍대군인 q-자기쌍대군을 자기쌍대군이라고 한다. 즉, 자기쌍대군은 부분군의 동형류의 집합과 몫군의 동형류의 집합이 일치하는 군이다.

성질

모든 s-자기쌍대군은 멱영군이다. s-자기쌍대군의 부분군은 s-자기쌍대군이다. 자기쌍대 아벨 군의 꼬임 부분군은 자명하지 않다.

예

모든 유한 아벨 군은 자기쌍대군이다.

분류

자기쌍대군은 매우 제한적인 형태를 취한다. 특수한 종류의 자기쌍대군의 구조 정리로는 다음이 있다.

유한 자기쌍대군

모든 유한 자기쌍대군 $G$는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.^{:Theorem 2:Corollary 7.2}

$G=\prod _{p}S_{p}$

여기서

• $p$는 소수이다.
• $p=2$인 경우, $S_{p}$는 아벨 p-군이다.
• $p>2$인 경우, $S_{p}$는 아벨 p-군이거나, $S_{p}=((\mathbb {Z} /p)^{\times 2}\rtimes \mathbb {Z} /p)\times (\mathbb {Z} /p)^{\times n_{p}}$이다.

모든 유한 s-자기쌍대군 $G$는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.^{:Theorem 2:Theorem 7.1}

$G=\prod _{p}S_{p}$

여기서

• $p$는 소수이다.
• $p=2$인 경우, $S_{p}$는 아벨 p-군이거나, 표시 $\langle a,b|a^{p^{m_{p}}}=b^{p^{m_{p}}}=1,\;ab=ba^{p^{m_{p}-1}+1}\rangle$를 갖는 군과 지수 $p^{m_{p}}$ 미만의 아벨 p-군의 직접곱이다.
• $p>2$인 경우, $S_{p}$는 아벨 p-군이거나, 표시 $\langle a,b|a^{p^{m_{p}}}=b^{p^{m_{p}}}=1,\;ab=ba^{p^{m_{p}-1}+1}\rangle$를 갖는 군과 지수 $p^{m_{p}}$ 미만의 아벨 p-군의 직접곱이거나, $S_{p}=((\mathbb {Z} /p)^{\times 2}\rtimes \mathbb {Z} /p)\times (\mathbb {Z} /p)^{\times n_{p}}$이다.

가산 아벨 자기쌍대군

계수가 0인 가산 아벨 자기쌍대군 $G$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^{:Theorem 1, III}

$G=\bigoplus _{p}S_{p}$

여기서

• $p$는 소수이다.
• $S_{p}$는 다음 두 형태 가운데 하나다.
  • $\textstyle S_{p}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }\mathbb {Z} /p^{n_{p,i}}$ ($0\leq n_{p,i}\leq n_{p}$)
  • $S_{p}=\mathbb {Z} (p^{\infty })^{\oplus \aleph _{0}}\oplus B_{p}$. 여기서 $\mathbb {Z} (p^{\infty })$는 프뤼퍼 군이며, $B_{p}$는 $\mathbb {Z} (p^{\infty })$를 부분군으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 p-군이다.

0이 아닌 유한 계수의 가산 아벨 자기쌍대군 $G$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^{:Theorem 1, IV}

$G=\mathbb {Z} ^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{p}{(\mathbb {Z} (p^{\infty })^{\oplus \aleph _{0}}\oplus B_{p})}$

여기서

• $p$는 소수이다.
• $B_{p}$는 $\mathbb {Z} (p^{\infty })$를 부분군으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 p-군이다.

계수가 무한한 가산 아벨 자기쌍대군 $G$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^{:Theorem 1, IV}

$G=U\oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Q} \oplus \mathbb {Z} )^{\oplus \aleph _{0}}$

여기서 $U$는 임의의 가산 아벨 군이다.