에딩턴 한계

에딩턴 한계(영어: Eddington limit)라고도 표현되는 에딩턴 광도(영어: Eddington luminosity)는 (항성 같은)물체가 외부로 작용하는 복사력과 안쪽으로 작용하는 중력이 평형을 이루는 상태에 있을 때 도달할 수 있는 최대 광도이다. 평형 상태는 유체 정역학적 평형이라고 불린다. 별이 에딩턴 광도를 넘어서면, 별은 매우 강렬한 복사로 인해 항성풍으로 자신의 바깥층을 날려버린다. 대부분의 무거운 별들은 에딩턴 광도보다 훨씬 작은 광도를 가지고 있기 때문에, 이들의 항성풍은 대부분 덜 강렬한 선 흡수에 의해 발생한다. 에딩턴 한계는 퀘이사처럼 관측된 강착중인 블랙홀의 광도를 설명하기 위해 언급된다.

원래 아서 스탠리 에딩턴 경은 이 한계를 유도할 때 오직 전자 산란만을 고려했는데, 오늘날에는 그것을 고전적인 에딩턴 한계라고 불린다. 오늘날의 수정된 에딩턴 한계는 속박-자유와 자유-자유 복사 상호작용(제동복사 참고)과 같은 다른 복사 과정을 고려하고 있다.

유도

에딩턴 한계는 항성의 바깥쪽으로 작용하는 복사압이 안쪽으로 작용하는 중력과 같아서 서로 상쇄되는 지점에 설정된다. 두 힘은 모두 역제곱 법칙에 따라 감소한다.

정역학적 평형 상태에서의 오일러 방정식에서 평균 가속도가 0임을 식으로 나타내면

${\frac {du}{dt}}=-{\frac {\nabla p}{\rho }}-\nabla \Phi =0$

이때 $u$는 속도, $p$는 압력, $\rho$는 밀도, and $\Phi$는 중력 포텐셜이다. 압력이 복사 선속 $F_{\rm {rad}}$의 복사압에 의해 좌우된다면

$-{\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {\kappa }{c}}F_{\rm {rad}}\,.$

이고, 이때 $\kappa$는 항성을 구성하는 물질의 불투명도이다. 전리수소의 불투명도 값은 $\kappa =\sigma _{\rm {T}}/m_{\rm {p}}$이며, 이때 $\sigma _{\rm {T}}$는 톰슨 산란의 전자 단면적이며 $m_{\rm {p}}$은 양성자의 질량이다.

표면적 $S$ 안에 갇혀 있는 광원의 광도는

$L=\int _{S}F_{\rm {rad}}\cdot dS=\int _{S}{\frac {c}{\kappa }}\nabla \Phi \cdot dS\,.$

이다.

이제 불투명도를 상수라고 가정하고 가우스 정리와 푸아송 방정식을 통해

$L={\frac {c}{\kappa }}\int _{S}\nabla \Phi \cdot dS={\frac {c}{\kappa }}\int _{V}\nabla ^{2}\Phi \,dV={\frac {4\pi Gc}{\kappa }}\int _{V}\rho \,dV={\frac {4\pi GMc}{\kappa }}$

이때 $M$은 중심 물체의 질량이다. 이렇게 해서 구해진 광도를 에딩턴 광도라고 한다. 전리수소로만 이루어진 항성일 경우 에딩턴 광도는

${\begin{aligned}L_{\rm {Edd}}&={\frac {4\pi GMm_{\rm {p}}c}{\sigma _{\rm {T}}}}\\&\cong 1.26\times 10^{31}\left({\frac {M}{M_{\bigodot }}}\right){\rm {W}}=1.26\times 10^{38}\left({\frac {M}{M_{\bigodot }}}\right){\rm {erg/s}}=3.2\times 10^{4}\left({\frac {M}{M_{\bigodot }}}\right)L_{\bigodot }\end{aligned}}$

이고, 이때 $M_{\odot }$은 태양질량, $L_{\odot }$은 태양광도이다.

에딩턴 광도는 어떤 광원이 정역학적 평형을 유지하면서 낼 수 있는 최대의 광도이다. 광도가 에딩턴 광도한계를 넘어서면, 복사압이 중력을 이기기 때문에 물질들이 바깥으로 새어나가게 된다.

에딩턴 한계에 근접하거나 넘는 항성들

보통의 항성들은 에딩턴 한계보다 질량이 매우 적어 평형 상태를 유지한다. 하지만 최근 들어 몇몇의 극대거성과 울프-레이에별들의 질량과 광도가 에딩턴 한계에 근접하거나 넘는다는 사실이 밝혀졌다.

• R136a1 - 밝기가 태양의 8백만배가 넘는 이 별은 질량을 갑자기 끌어모아 한때는 질량이 태양의 320배에 달했으나 외포층이 항성에서 탈출해 태양 질량의 50배 정도를 잃은 것으로 보인다. 이 별은 울프-레이에별이다.
• 피스톨 별 - 크기가 태양의 200배에 달하며 질량은 100배, 밝기는 100만배가 넘는 것으로 밝혀져 극대거성으로 분류되었다.
• 용골자리 에타 - 크기, 질량, 밝기는 피스톨 별과 비슷해 역시 극대거성으로 분류되었다. 160년 전부터 이어진 초신성 위장 현상으로 밝기가 밤하늘에서 2번째로 밝아진 적도 있다. 최근 이 별이 쌍성이라는 연구 결과로 인해 논란이 되고 있다.
• WR 102ka - R136a1과 광도와 질량이 비슷하며 역시 울프-레이에별이다. 수백만 년 이내로 초신성 폭발로 일생을 마칠 것으로 보인다.