알렉산더 쌍대성

알렉산더 쌍대성(Alexander雙對性, 영어: Alexander duality)은 대수적 위상수학에 등장하는 쌍대성 중 하나로, 초구 속 부분 공간의 호몰로지와 그 여집합의 코호몰로지가 서로 동형이라는 것을 말한다.

정리

알렉산더 쌍대성

초구의 비어있지 않은 부분 공간 $X\subseteq \mathbb {S} ^{n}$이 국소적으로 축약 가능할 경우, 다음이 성립한다.

$\operatorname {\tilde {H}} _{k}(\mathbb {S} ^{n}\setminus X;\mathbb {Z} )\cong \operatorname {\tilde {H}} ^{n-k-1}(X;\mathbb {Z} )$.

여기서 $\operatorname {\tilde {H}}$는 축소 호몰로지 · 코호몰로지 군이다. 만약 축소 체흐 코호몰로지를 쓸 경우 국소 축약 가능 공간이라는 조건이 필요 없어진다.

증명

푸앵카레 쌍대성을 이용한 증명

$U$를 $X$의 열린 덮개라고 하면 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\operatorname {H} _{k}(\mathbb {S} ^{n}\setminus X)&\cong \operatorname {H} ^{n-k}(\mathbb {S} ^{n}\setminus X)\quad {\text{(Poincaré duality)}}\\&\cong \varinjlim \operatorname {H} ^{n-k}(\mathbb {S} ^{n}\setminus X,U\setminus X)\\&\cong \varinjlim \operatorname {H} ^{n-k}(\mathbb {S} ^{n},U)\quad {\text{(excision)}}\\&\cong \varinjlim \operatorname {\tilde {H}} ^{n-k-1}(U),\quad (k\neq 0)\\&\cong \operatorname {\tilde {H}} ^{n-k-1}(X)\end{aligned}}$

slant product를 이용한 증명

$X\subseteq \mathbb {S} ^{n}$에 대해 다음 사상을 생각할 수 있다.

$X\times (\mathbb {S} ^{n}\setminus X)\to \mathbb {S} ^{n-1}$

$(x,y)\mapsto {\frac {x+y}{\|x-y\|}}$

위 사상은 다음 코호몰로지류에 대응한다.

$[\phi ]\in \operatorname {H} ^{n-1}(X\times (\mathbb {S} ^{n}\setminus X))$

위 코호몰로지류와 slant product를 통해, 사상을 만들 수 있다.

$[\phi ]_{/}\colon \operatorname {H} _{\bullet }(X)\to \operatorname {H} ^{n-\bullet -1}(\mathbb {S} ^{n}\setminus X),\quad \alpha \mapsto \alpha /[\phi ]$

이제, 만약 $X$가 콤팩트 국소 축약 가능 공간일 경우, 이는 축소 호몰로지의 동형 사상

$[{\tilde {\phi }}]_{/}\colon \operatorname {\tilde {H}} _{\bullet }(X)\to \operatorname {\tilde {H}} ^{n-\bullet -1}(\mathbb {S} ^{n}\setminus X)$

을 정의한다. 이 사상에 의해 알렉산더 쌍대성이 성립한다.

예

축약 가능 공간

$X$가 축약 가능 공간)이라고 하자. 이 경우, $\mathbb {S} ^{n+1}\setminus X$ 역시 축약 가능 공간이다. 축약 가능 공간의 축소 호몰로지와 축소 코호몰로지는 모두 0이므로, 이 경우 알렉산더 쌍대성이 자명하게 성립한다.

(반면, 축약 가능 공간은 0차 (코)호몰로지를 가지므로, 축소가 아닌 일반 (코)호몰로지의 경우 동형이 성립하지 않는 것을 알 수 있다.)

초구

$X=\mathbb {S} ^{n}$가 $n$차원 초구라고 하자. 이 경우

$\operatorname {\tilde {H}} _{i}(X)={\begin{cases}0&i<n\\\mathbb {Z} &i=n\end{cases}}$

이며, 반면

$\mathbb {S} ^{n+1}\setminus \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {B} ^{n+1}\times \{0,\infty \}\simeq \{0,\infty \}$

은 두 개의 점을 가진 이산 공간과 호모토피 동치이므로

$\operatorname {\tilde {H}} ^{i}(\mathbb {S} ^{n+1}\setminus X)={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0\\0&i>0\end{cases}}$

이다. 이에 따라서 알렉산더 쌍대성이 성립하는 것을 알 수 있다.

연환수

마찬가지로, $n=2$이며 $X=\mathbb {S} ^{1}$인 경우를 생각하자. 이 경우

$X=\mathbb {S} ^{1}\simeq \mathbb {S} ^{3}\setminus \mathbb {S} ^{1}=\mathbb {S} ^{3}\setminus X$

이며, 이는 오직 1차에만 자명하지 않은 축소 (코)호몰로지를 갖는다. 이에 따라서 알렉산더 쌍대성이 성립하는 것을 알 수 있다. 이 경우 알렉산더 쌍대성 사상은 연환수에 의하여 유도된다.

역사

1915년에 제임스 워델 알렉산더가 알렉산더 쌍대성의 최초의 형태를 증명하였다. 알렉산더의 시대에는 (코)호몰로지가 아직 발견되지 않았으며, 알렉산더가 실제로 증명한 것은 법2의 베티 수가 일치한다는 것이었다.

역사

• “Alexander duality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Alexander-Čech duality”. 《nLab》 (영어). 
• “Spanier-Whitehead duality”. 《nLab》 (영어).