상미분 방정식 이론에서, 스튀름-리우빌 연산자(Sturm-Liouville演算子, 영어: Sturm–Liouville operator)는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식을 스튀름-리우빌 방정식(Sturm-Liouville方程式, 영어: Sturm–Liouville equation)이라고 하며, 이에 대한 이론을 스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville理論, 영어: Sturm–Liouville theory)이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다.
실수의 닫힌구간
이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.
![{\displaystyle D\colon {\mathcal {C}}^{2}([a,b],\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{0}([a,b],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1ae65a3f794e59160250fc93596659e5ed0192)
![{\displaystyle D=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}p(x){\frac {d}{dx}}+q(x)\right)=-{\frac {p(x)}{w(x)}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{w(x)}}p'(x){\frac {d}{dx}}-{\frac {q(x)}{w(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1bd485223531252ca32041e22891b82f70758b)
여기서
는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다.
는 연속 함수이다.
는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 무게 함수 영어: weight function라고 한다.)
닫힌구간
위의 로뱅 경계 조건(Robin境界條件, 영어: Robin boundary condition)이란
위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.
![{\displaystyle \alpha _{a}y(a)+\beta _{a}y'(a)=0\qquad (\alpha _{a},\beta _{a}\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3acb739900f1cc31cd9008de5d3ce9d8fe9025a)
![{\displaystyle \alpha _{b}y(b)+\beta _{b}y'(b)=0\qquad (\alpha _{a},\beta _{a}\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1fb5ee64668732553c1cb63cf1af21b35f0dba)
여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.
또는
가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로
또는
가운데 하나 이상이 0이 아니다.
즉,
와
는 각각 실수 사영 직선
의 두 점의 동차 좌표를 이룬다.
로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간
![{\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([a,b],w(x)\,\mathrm {d} x)=\left\{f\in \operatorname {L} ^{0}([a,b],\mathbb {R} )\colon \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,\mathrm {d} x<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfa9ed455be68da041e064ba321041a9bc890f4)
위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.
스튀름-리우빌 연산자
의 고유 함수 방정식
![{\displaystyle Dy(x)=\lambda y(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b37d431eea788ba8d58d5cff706ffca41cbcf79)
즉 선형 상미분 방정식
![{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dy(x)}{dx}}\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e151c3aa6e7e7b4798d74230b5bf962c35d7e6e5)
을 스튀름-리우빌 방정식(영어: Sturm–Liouville equation)이라고 한다.
이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로,
와
,
의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. 스튀름-리우빌 문제는 스튀름-리우빌 미분 연산자의 고윳값을 구하는 문제이다.
고윳값과 고유 함수[편집]
위의 무게 함수
![{\displaystyle w\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e462b4d7275d2670ac4c88b3e466b7587aeaa40a)
에 대한 스튀름-리우빌 연산자
![{\displaystyle D\colon \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)\to \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5898f2412ae3b69c035d51b3f52ff2f12f31912d)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.
![{\displaystyle \lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c365e1977fc9e78c906e1378e159bc18b22baee)
![{\displaystyle \lim _{i\to \infty }\lambda _{i}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a379c2231639641da0641462d06742fda2b3a7)
각 고윳값
에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간
속에서 정확히
개의 영점을 갖는다.
이러한 고유 함수들의 집합
은 (
의 내적에 따라 정규화하였을 때)
의 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \int _{a}^{b}y_{i}(x)y_{j}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e16055958b42a315d4231f4f72b269f8eb25847)
2차 선형 미분 방정식의 스튀름-리우빌 형태로의 환원[편집]
모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, y가 스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)
일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.
![{\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25bc3af4a83ffa028bfcf9723930d68754372e92)
양변을 P(x)로 나누고, 다시 양변에 적분 인자
![{\displaystyle \exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118c03e3100d22300c6dc425cea0d62e75c7fc19)
를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.
베셀 방정식[편집]
베셀 방정식
![{\displaystyle x^{2}y''+xy'+(\lambda ^{2}x^{2}-\nu ^{2})y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4d70248250c37c1e2c652ab3597839cd850acf)
은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.
![{\displaystyle (xy')'+(\lambda ^{2}x-\nu ^{2}/x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1932108b22dbec89ed6780f18e621eaf8527bbb3)
즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는
![{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\right)+\nu ^{2}/x-\lambda ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d177b2d7f82b5161579b8b88a12679030f0c122e)
이다.
르장드르 방정식[편집]
르장드르 방정식
![{\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea18e81597ddd6465e3b987a641b8894ad5c0e53)
은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다.
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(1-x^{2})=-2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe67378037f9f58b0c37bdea31ab3ecb094e3f05)
이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.
![{\displaystyle [(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfe3e0a08b87afc1390cec43c9a5a7c27561a3d)
즉,
은 스튀름-리우빌 연산자
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2}){\frac {d}{dx}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6d3838538a026246d4d1500aef1ef865a0d0e3)
의 고윳값이다.
더 복잡한 2차 상미분 방정식[편집]
좀 더 복잡한 예로 다음 상미분 방정식을 생각하자.
![{\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69af2a15ebc8f7db2ec5da72aa1cbd5ca3238ba4)
양변을 x3으로 나누고
![{\displaystyle y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ebb7ccb2dd6318e0bed7ca842ed4277aa61332)
다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.
![{\displaystyle \exp \left(\int -{\frac {x}{x^{3}}}\,\mathrm {d} x\right)=\exp \left(\int -{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\right)=\exp(1/x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b04d4e0669002fbc4e9eea0316056a621af5dc)
그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.
![{\displaystyle \exp(1/x)y''-{\frac {1}{x^{2}}}\exp(1/x)y'+{\frac {2}{x^{3}}}\exp(1/x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0cae55980106a06f4b0bcbad8090703c2f2a3b3)
이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(1/x)=-{\frac {1}{x^{2}}}\exp(1/x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2e3594784fe7c7ca048492ce7358f12e38e925)
이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.
![{\displaystyle (\exp(1/x)y')'+{\frac {2}{x^{3}}}\exp(1/x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15490076567649f512ef560898f442e6dc6b5180)
즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp(1/x){\frac {d}{dx}}\right)+{\frac {2}{x^{3}}}\exp(1/x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb58454732438d75861bd1a6596fed93fbcf9eb9)
자크 샤를 프랑수아 스튀름과 조제프 리우빌의 이름을 땄다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]