슈뢰더 방정식
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Ernst_schroeder.jpg/220px-Ernst_schroeder.jpg)
에른스트 슈뢰더의 이름을 딴 슈뢰더 방정식(Schröder's equation)[1][2][3]은 하나의 독립 변수를 갖는 함수 방정식이다. 함수 가 주어지면 다음과 같은 함수 를 구한다.
슈뢰더 방정식은 함수 를 로 보내는 합성 연산자 에 대한 고유값 방정식이다.
가 의 고정점인 경우, 즉, 이면 (또는 ) 이다. 따라서, 가 유한하고 가 사라지거나 발산하지 않는 경우 고유값 는 로 제공된다.
범함수적 중요성
[편집]가브리엘 쾨니히스는 1884년에, 에 대해 가 단위 원판에 대해 해석적이고, 을 고정시키고 이면 슈뢰더 방정식을 만족하는 해석적(자명하지 않은) 가 있음을 보여주었다. 이는 해석 함수 공간에서 합성 연산자를 이해하는 데 유용한 긴 정리들의 줄의 첫 번째 단계 중 하나이다.(쾨니히스 함수 참조)
슈뢰더 방정식과 같은 방정식은 자기유사성을 인코딩하는 데 적합하므로 비선형계(종종 구어체로 혼돈 이론이라고도 함) 연구에 광범위하게 활용되었다. 이는 난류 연구와 재규격화군에도 사용된다.[4][5]
슈뢰더 켤레 함수의 역 에 대한 슈뢰더 방정식의 등가 전치 형식은 이다. 변수 (아벨 함수)의 변경은 슈뢰더의 방정식을 이전 아벨 방정식으로 추가로 변환한다. 마찬가지로, 변수 변환은 슈뢰더 방정식을 뵈처 방정식, 로 변환한다.
또한, 속도 에 대해[5], 줄리아 방정식 이 성립한다.
대신 슈뢰더 방정식 해의 제곱은 고유값 을 갖는 슈뢰더 방정식의 해를 제공한다. 같은 맥락에서 슈뢰더 방정식의 가역적 해 에 대해 (비가역) 함수 도 주기가 인 주기 함수 에 대한 해이다. 슈뢰더 방정식의 모든 해는 이러한 방식으로 관련되어 있다.
해
[편집]슈뢰더 방정식은 a가 끌개(초끌개는 아님) 고정점인 경우, 즉 일 때 가브리엘 쾨니히스(1884)가 풀었다.[6][7]
초끌개 고정점의 경우 이면 슈뢰더의 방정식은 다루기 힘들고 뵈처 방정식으로 변환하는 것이 가장 좋다.[8]
슈뢰더의 1870년 원본 논문으로 거슬러 올라가는 특정 해가 많이 있다.[1]
고정점 주변의 급수 전개와 결과 궤도에 대한 해의 관련 수렴 성질 및 해당 해석적 성질은 세케레시에 의해 설득력 있게 요약되었다.[9] 몇몇 해는 점근적 급수로 제공된다. 칼먼 행렬 참조.
응용
[편집]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Phase-space_Orbit_of-Logistic_map.jpg/300px-Phase-space_Orbit_of-Logistic_map.jpg)
에 의해 생성된 시스템(궤도)이 단순한 팽창처럼 보이는 새로운 좌표계를 찾아 이산 동적계를 분석하는 데 사용된다.
보다 구체적으로, 이산 단위 시간 단계가 에 해당하는 계는 위의 슈뢰더 방정식, 켤레 방정식의 해로부터 재구성된 매끄러운 궤도 (또는 흐름)를 가질 수 있다.
즉, .
일반적으로 모든 함수적 반복 (정규 반복 군, 반복 함수 참조)은 궤도에 의해 제공된다.
실수 t의 경우 — 반드시 양수이거나 정수일 필요는 없다. (따라서 완전 연속 군이다.) 들의 집합, 즉 (반 군)의 모든 양의 정수 반복의 집합을 의 분할 (또는 피카르 수열)이라고 한다.
그러나 의 모든 반복 (분수, 무한소 또는 음수)은 마찬가지로 슈뢰더 방정식을 풀기 위해 결정된 좌표 변환 를 통해 지정된다. 초기 이산 재귀 의 홀로그램 연속 보간이 구성되었다;[10] 이는 사실상, 전체 궤도이다.
예를 들어, 범함수 제곱근은 이므로 , 등등.
예를 들어, 혼돈의 경우 와 같은[11] 로지스틱 사상 의 특수 사례는 슈뢰더가 그의 원본 논문[1] (p. 306)에서,
- Ψ(x) = (arcsin √x)2, s = 4, and hence ht(x) = sin2(2t arcsin √x).
실제로 이 해는 일련의 스위치백 전위[12] 에 의해 결정되는 동작으로 나타나는 것으로 보인다. 이는 슈뢰더 방정식의 영향을 받는 연속 반복의 일반적인 특징이다.
그는 또한 자신의 방법 로 설명했던 혼돈이 아닌 경우를 다음과 같이 나타낸다.
- Ψ(x) = −12ln(1 − 2x), and hence ht(x) = −12((1 − 2x)2t − 1).
마찬가지로 베버튼-홀트 모델 의 경우[10] 를 쉽게 찾을 수 있으므로[13]
같이 보기
[편집]각주
[편집]- ↑ 가 나 다 Schröder, Ernst (1870). “Ueber iterirte Functionen”. 《Math. Ann.》 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992.
- ↑ Carleson, Lennart; Gamelin, Theodore W. (1993). 《Complex Dynamics》. Textbook series: Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5.
- ↑ Kuczma, Marek (1968). 《Functional equations in a single variable》. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers. ISBN 978-0-02-848110-4. OCLC 489667432.
- ↑ Gell-Mann, M.; Low, F.E. (1954). “Quantum Electrodynamics at Small Distances” (PDF). 《Physical Review》 95 (5): 1300–1312. Bibcode:1954PhRv...95.1300G. doi:10.1103/PhysRev.95.1300.
- ↑ 가 나 Curtright, T.L.; Zachos, C.K. (March 2011). “Renormalization Group Functional Equations”. 《Physical Review D》 83 (6): 065019. arXiv:1010.5174. Bibcode:2011PhRvD..83f5019C. doi:10.1103/PhysRevD.83.065019.
- ↑ Koenigs, G. (1884). “Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionelles” (PDF). 《Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure》 1 (3, Supplément): 3–41. doi:10.24033/asens.247.
- ↑ Erdős, Paul; Jabotinsky, Eri (1960). “On Analytic Iteration”. 《Journal d'Analyse Mathématique》 8 (1): 361–376. doi:10.1007/BF02786856.
- ↑ Böttcher, L. E. (1904). “The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis”. 《Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. (Russian)》 14: 155–234.
- ↑ Szekeres, G. (1958). “Regular iteration of real and complex functions”. 《Acta Mathematica》 100 (3–4): 361–376. doi:10.1007/BF02559539.
- ↑ 가 나 Curtright, T.L.; Zachos, C. K. (2009). “Evolution Profiles and Functional Equations”. 《Journal of Physics A》 42 (48): 485208. arXiv:0909.2424. Bibcode:2009JPhA...42V5208C. doi:10.1088/1751-8113/42/48/485208.
- ↑ Curtright, T. L. Evolution surfaces and Schröder functional methods Archived 2014년 10월 30일 - 웨이백 머신.
- ↑ Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2010). “Chaotic Maps, Hamiltonian Flows, and Holographic Methods”. 《Journal of Physics A》 43 (44): 445101. arXiv:1002.0104. Bibcode:2010JPhA...43R5101C. doi:10.1088/1751-8113/43/44/445101.
- ↑ Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”. 《Biometrika》 38 (1-2): 196−218. doi:10.1093/biomet/38.1-2.196. JSTOR 2332328. See equations 41, 42.