뵈처 방정식
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루찬 뵈처의 이름을 딴 뵈처 방정식(Böttcher's equation)은 함수 방정식
이다. 여기서
- 는 에서 차 초끌개 고정점을 가진 해석 함수로 주어진다. (즉, 의 이웃에서 이고 )
- 가 찾던 함수이다.
해
[편집]루찬 에밀 뵈처는 1904년에 해의 존재성에 대한 증명을 스케치했다. 고정점 부근의 해석 함수 는 다음과 같다.[1]
이 해는 때때로 다음과 같이 불린다.
- 뵈처 좌표
- 뵈처 함수[2]
- 뵈처 사상
완전한 증명은 1920년 조지프 릿에 의해 출판되었는데,[3] 원래 공식을 알지 못했다.
뵈처 좌표(슈뢰더 함수의 로그)는 를 고정점 부근의 함수 에 켤레화한다. 특히 중요한 경우는 가 차 다항식이고 인 경우이다.[4]
명시적 형식
[편집]다음에 대한 뵈처 좌표를 명시적으로 계산할 수 있다.[5]
- 사상
- 체비쇼프 다항식
예
[편집]함수 및 n=2의 경우[6]
뵈처 함수 는 다음과 같다.
응용
[편집]뵈처의 방정식은 하나의 복소 변수 다항식 반복을 연구하는 정칙 동적계의 일부에서 근본적인 역할을 한다.
뵈처 좌표의 전역 속성은 파투[7][8]와 두아디 및 허바드에 의해 연구되었다.[9]
같이 보기
[편집]- 슈뢰더 방정식
- 외부 광선
각주
[편집]- ↑ Böttcher, L. E. (1904). “The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis (in Russian)”. 《Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch.》 14: 155–234.
- ↑ J. F. Ritt. On the iteration of rational functions . Trans. Amer. Math. Soc. 21 (1920) 348-356. MR 1501149.
- ↑ Ritt, Joseph (1920). “On the iteration of rational functions”. 《Trans. Amer. Math. Soc.》 21 (3): 348–356. doi:10.1090/S0002-9947-1920-1501149-6.
- ↑ Cowen, C. C. (1982). “Analytic solutions of Böttcher's functional equation in the unit disk”. 《Aequationes Mathematicae》 24: 187–194. doi:10.1007/BF02193043.
- ↑ math.stackexchange question: explicitly-calculating-greens-function-in-complex-dynamics
- ↑ Chaos by Arun V. Holden Princeton University Press, 14 lip 2014 - 334
- ↑ Alexander, Daniel S.; Iavernaro, Felice; Rosa, Alessandro (2012). 《Early Days in Complex Dynamics: A history of complex dynamics in one variable during 1906–1942》. ISBN 978-0-8218-4464-9.
- ↑ Fatou, P. (1919). “Sur les équations fonctionnelles, I”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 47: 161–271. doi:10.24033/bsmf.998. JFM 47.0921.02.; Fatou, P. (1920). “Sur les équations fonctionnelles, II”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 48: 33–94. doi:10.24033/bsmf.1003. JFM 47.0921.02.; Fatou, P. (1920). “Sur les équations fonctionnelles, III”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 48: 208–314. doi:10.24033/bsmf.1008. JFM 47.0921.02.
- ↑ Douady, A.; Hubbard, J. (1984). “Étude dynamique de polynômes complexes (première partie)”. 《Publ. Math. Orsay》. 2013년 12월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 1월 22일에 확인함.; Douady, A.; Hubbard, J. (1985). “Étude dynamique des polynômes convexes (deuxième partie)”. 《Publ. Math. Orsay》. 2013년 12월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 1월 22일에 확인함.