사이클로이드

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사이클로이드 곡선

사이클로이드직선 위로 을 굴렸을 때 원 위의 정점이 그리는 곡선이다. 사이클로이드는 룰렛 (커브 위에 다른 커브를 돌리면 나오는 커브)의 일종이다.

길이[편집]

반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디의 길이는 다음과 같이 알 수 있다.


\begin{align}
l
&= {\left ( \frac {dx} {dt} \right) ^2 + \left ( \frac {dy} {dt} \right) ^2 }dt \\
& = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt { \left( \frac {d r ( t - \sin t )} {dt} \right) ^2 + \left( \frac {d r ( 1 - \cos t )} {dt} \right) ^2 } dt \\
& = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt {(2r ( 1 - \cos t) } dt \\
& = \int _{0} ^{2\pi} 2r \sin \frac {t}{2}  dt \\
& = 8r
\end{align}

넓이[편집]

원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디와 x축 사이의 넓이는

 S=3 \pi r^2

특징[편집]

시점과 종점이 같은 직선과 사이클로이드 중에서, 그 위를 같은 시간 안에 더 빨리 물체가 움직이는 것은 사이클로이드이다. 사이클로이드의 이 특성을 Brachistochrone (최단강하곡선)이라고 한다. 또한 사이클로이드의 어느 위치에서 물체를 강하하여도 끝점에 도착하는 시간은 일정하다. 이는 isochrone 또는 tautochrone (등시곡선)라고도 한다.

한국 고교과정에서의 활용[편집]

대한민국의 미적분 2과정에서 빈번하게 출제되는 문제이다. 사이클로이드, 트로코이드 이렇게 직접적으로 언급되지는 않지만 같은 식이 나온다. 사이클로이드 넓이와 길이도출이 어떻게 되는지만 알고있으면 문제 없을것이다.

같이 보기[편집]