사이클로이드

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
사이클로이드 곡선

사이클로이드직선 위로 을 굴렸을 때 원 위의 정점이 그리는 곡선이다. 사이클로이드는 룰렛 (커브 위에 다른 커브를 돌리면 나오는 커브)의 일종이다.

역사[편집]

사이클로이드는 17세기 수학자들 사이에서 빈번히 논쟁을 야기하여 헬렌의 기하학이라고 불린다. 수학의 역사가들은 사이클로이드의 발견자로 여러 후보자들을 제안하였다. 수학역사학자 Paul Tannery는 대표적인 시리아 철학자인 Iamblichus의 연구를 고대에 잘 알려져 있던 곡선의 증거로써 비슷하게 인용했다. 영국의 수학자 John Wallis가 1997년에 쓴 글은 Nicholas of Cusa의 발견에 기여했다. 그러나 이후에 학문은 Wallis가 잘못했거나 Wallis가 사용한 증거가 이제는 사라졌음을 나타낸다. 갈릴레오 갈릴레이의 이름은 19세기 말에 등장하였고 적어도 한명의 저자는 Marin Mersenne에게도 공이 있다는 것을 보고했다. Moritz Cantor와 Siegmund Günther의 연구를 시작으로, 이제 학자들은 1503년에 출판된 기하학의 기초에서 프랑스 수학자인 Charles de Bovelles가 설명한 사이클로이드를 가장 우선적이라고 정한다. 이러한 연구에서, Bovelles는 작은 원보다 120퍼센트 더 큰 반지름의 일부를 원을 굴려 남은 자취의 곡선으로 오해했다. 갈릴레오는 사이클로이드라는 용어를 만들었고 최초로 곡선에 대한 연구를 시작하였다. 그의 제자 에반젤리슨타 토리첼리에 따르면, 1599년 갈릴레오는 (사이클로이드 밑의 면적과 같은 면적의 정사각형을 만든) 사이클로이드의 구적법을 판금에 원을 만들고 사이클로이드를 생성하고 그것을 자르고 무게를 재며 자취를 따라가는 비정상적이고 경험적인 접근으로 시도했다. 그는 비율이 대충 3:1이라는 것을 발견했지만 비율이 무리수의 분수로 직교/구적법이 불가능하다고 부정확하게 결론지었다. 1628년경에, Gilles Persone de Roberval은 아마도 Père Marin Mersenne에게 구적법문제를 배웠고 Cavalieri의 이론을 사용함으로써 1634년에 직교/구적법에게 영향을 주었다. 그러나, (Traité des Indivisibles에 있던) 그의 노력은 1693년까지 드러나지 않았다. 사이클로이드의 접선을 그리는 것은 Mersenne이 Roberval에서 Pierre de Fermat와 René Descartes로부터 독특한 방법을 받았을 때인 1638년 8월에 일어났다. Mersenne이 갈릴레오에게 이 결과들을 전달했고, 갈리레오는 구적법을 만들어낼 수 있는 그의 학생들 Torricelli and Viviana에게 결과들을 줬다. 이 결과와 그 결과에 공헌한 사람들은 토리첼리에 의해 1644년에 에 발표되었고 또한 사이클로이드에 대해 최초로 인쇄된 작품이 출판되었다. 이것은 로베르발이 토리첼리에게 표절논란을 걸게 했지만 짧은 1647년에 토리첼리의 조기 사망으로 논쟁은 끝이 났다. 1658년에 블레즈 파스칼은 신학을 위해 수학을 포기했다. 하지만 치통에 시달리면서 사이클로이드에 관한 몇 가지 문제를 고려하기 시작했다. 그의 치통은 사라졌고, 그는 이걸 자신의 연구를 진행하라는 하늘의 계시로 여겼다. 8일 후 그는 그의 논문을 완성했고 결과를 알리기 위해 대회를 제안했다. 파스칼은 사이클로이드의 무게중심, 면적, 부피에 관한 세가지 질문을 제시했고, 승자 혹은 승자들에게는 20~40의 더블룬(과거 스페인에서 사용된 금화)을 걸었다. 파스칼과 로버발, 칼카비 상원위원이 심사위원이었고, (존 월리스와 안토니 라루베가 낸) 두 개의 제출이 모두 충분히 판정되지 않았다. 대회가 계속 진행되는 동안 크리스토퍼 렌은 파스칼에게 사이클로이드의 길이의 증명을 제출했고, 로버발은 그 즉시 그가 몇 년 동안 이 증명을 알고 있었다고 주장했다. 월리스는 렌의 증명을 (렌에게 공을 주면서) Wallis's Tractus Duo에 출판했고, 렌에게 첫 번째 공식적인 증명에 대한 우선권을 주었다. 15년 후, Christiaan Huygenshad는 정밀시계를 개선하기 위해 cycloidal/사이클로드 진자(추)를 사용했고 입자가 출발점과 상관없이 같은 시간에 사이클로이드모형의 아치모양을 뒤집은 모양을 따라 움직인다는 것을 발견하였다. 1686년에 Gottfried Wilhelm Leibniz는 단 하나의 방정식으로 곡선을 설명하기 위해서 분석적인/분해의 기하학을 사용했다. 1696년에는 Johann Bernoulli가 사이클로이드의 의문을 풀어주는 최속 강하선 증명을 사용했다.

길이[편집]

반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디의 길이는 다음과 같이 알 수 있다.

넓이[편집]

원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디와 x축 사이의 넓이는

특징[편집]

시점과 종점이 같은 직선과 사이클로이드 중에서, 그 위를 같은 시간 안에 더 빨리 물체가 움직이는 것은 사이클로이드이다. 사이클로이드의 이 특성을 Brachistochrone (최단강하곡선)이라고 한다. 또한 사이클로이드의 어느 위치에서 물체를 강하하여도 끝점에 도착하는 시간은 일정하다. 이는 isochrone 또는 tautochrone (등시곡선)라고도 한다.

한국 고교과정에서의 활용[편집]

대한민국의 미적분 2과정에서 빈번하게 출제되는 문제이다. 사이클로이드, 트로코이드 이렇게 직접적으로 언급되지는 않지만 같은 식이 나온다. 사이클로이드 넓이와 길이도출이 어떻게 되는지만 알고있으면 문제 없을것이다.

같이 보기[편집]