하이포사이클로이드

빨간 색 곡선이 큰 파란 원 안을 도는 검은 원으로 얻어지는하이포사이클로이드이다.

기하학에서 하이포사이클로이드(hypocycloid)는 큰 원 안에서 작은 원을 굴렸을 때 작은 원 위의 정점이 그리는 궤적을 말한다. 직선 위에서 원을 굴렸을 때 얻어지는 사이클로이드와 비교된다.

성질

작은 원의 반지름이 r, 큰 원의 반지름이 R = kr일 때, 매개 방정식을 써서 다음과 같이 표현할 수 있다.

$x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)$

$y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right),$

또는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,$

$y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right).\,$

k가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, k 개의 뾰족점을 가진다. 특수한 경우로 k=2일 때, 곡선은 직선 모양이 되며, 이 때 카르디노 원이라 한다.

k가 유리수인 경우, k = p/q 꼴로 단순화시킬수 있다면, p 개의 뾰족점을 가진다.

k가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R − 2r인 원 사이의 공간을 모두 채운다.

각각의 반지름이 r인 하이포 사이클로이드 곡선은 반지름이 R인 원 안에서 중력퍼텐셜에 대한 최속강하곡선이다.

예

• 하이포사이클로이드의 예
• K=2-그냥 직선
• 

  k=3 - 델토이드

• 

  k=4 - 아스트로이드

• 

  k=5

• 

  k=6

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  k=2.1 (21/10, p=21)

• 

  k=3.8 (19/5, p=19)

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  k=5.5 (11/2, p=11)

• 

  k=7.2 (36/5, p=36)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hypocycloid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hypocycloid”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Hypocycloid”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.