군 표현론에서, 사원수 표현(四元數表現, 영어: quaternionic representation은 사원수 벡터 공간 위의 군의 표현이다.
사원수 표현의 개념은 사원수의 용어를 사용하여 간단히 정의될 수 있으며, 사원수를 사용하지 않고 순수하게 복소수만으로 정의될 수도 있다.
군
의 사원수 표현은 다음과 같은 꼴의 군 준동형이다.
![{\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4d721a5eba0888ed026e9c8a9282f775dda823)
여기서
은
차원 사원수 벡터 공간 위의, 가역 사원수 선형 변환들의 리 군이다.
군
의 사원수 표현
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 짝수
차원 복소수 벡터 공간 ![{\displaystyle V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
- 군 준동형
![{\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4d721a5eba0888ed026e9c8a9282f775dda823)
- 실수 선형 변환
![{\displaystyle j\colon V\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2567b94480b1b2bcbc5ade9b01bf71120dcc12)
이는 다음을 만족시켜야 한다.
- (대합)
![{\displaystyle j\circ j=\operatorname {id} _{V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d8439e05195bfae084125322745b5b9f978384)
- (반선형성) 임의의 복소수
및
에 대하여, ![{\displaystyle j(\lambda v)={\bar {\lambda }}j(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea8f693514170999cfbb3552055cc8065d09bd8)
- (군의 작용) 임의의
및
에 대하여, ![{\displaystyle j(\rho (g)v)=\rho (g)j(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774b81f516897c687565a4b0a007266fa50ab78a)
3차원 스핀 군
의 복소수 2차원 스피너 표현은 사원수 표현을 이룬다. 사원수 표현으로서, 이 표현
![{\displaystyle \rho \colon \operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f10142d61b194433568518fc45256a948a9335)
의 상은
![{\displaystyle \operatorname {im} \rho =\{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3eeff4f64e3f56bae9cc3b83dc81572db75187)
이다. 이는 유니터리 표현이다.
연결 단일 연결 콤팩트 리 군 가운데, 사원수 기약 표현을 갖는 것들의 목록은 다음과 같다.
(즉,
)
,
(즉,
,
,
)
(즉,
)
![{\displaystyle {\mathsf {E}}_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c79872c49480bd03d088422ad6b6af2d61312a)
스핀 군의 경우, 사원수 기약 표현의 존재는 보트 주기성을 따른다.