사용자:StarLight/작업실4

라틴어로 된 1687년판 자연철학의 수학적 원리의 뉴턴의 제1,2 법칙

뉴턴의 운동법칙(영어: Newton's law of motion)은 아이작 뉴턴이 1687년에 출판된 아이작 뉴턴의 《자연철학의 수학적 원리》를 통해 발표한 법칙으로, 물체에 가해지는 힘과 그로 인한 물체의 운동 사이의 관계를 기술하는 물리 법칙이다. 고전역학의 근간을 이루게 되는 이 법칙은 물체의 운동을 분석하는 기본이 된다. 뉴턴은 이 법칙을 사용해 물체의 운동을 설명해 낼 수 있었다. 그 책의 3권에서는 뉴턴의 운동법칙과 만유인력의 법칙을 사용하여 케플러의 행성운동법칙을 설명해 낸다.

뉴턴의 운동법칙의 중요성

"자연과 자연의 법칙은 밤에는 보이지 않았다."

"신께서 가라사대, 뉴턴이 있으라 하셨다. 그러자 빛이 있었다." —알렉산더 포프

만유인력의 법칙 및 미적분학과 함께, 뉴턴의 운동법칙은 처음으로 회전체의 운동, 유체 안에서의 운동, 발사체의 운동, 빗면에서의 운동, 진자의 운동, 조석, 달과 천체의 궤도와 같은 물리학적 현상들에 대한 광범위한 설명을 가능하게 해주었다. 또한 뉴턴이 제2법칙과 제3법칙의 따름정리로 유도한 운동량 보존법칙은 최초의 보존법칙이었다.

뉴턴의 법칙들은 200년이 넘게 실험과 관측을 통해 입증되어 왔다. 이 법칙들은 인류의 척도(10^-6~10⁴m의 길이에서 0~10⁸m/s의 속도를 갖는 척도)에서 일어나는 운동학을, 관측 결과보다 더욱 정확하게 설명해 주고 있다.

경험적으로, 뉴턴의 법칙은 광속의 1/3 정도의 속도 이내에서는 그 오차를 무시할 수 있는 정도로 정확하다.

뉴턴의 운동법칙

제일법칙

제이법칙

제삼법칙

뉴턴의 제일법칙 : 관성의 법칙

Lex I: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

어떤 물체에 밀거나 당기는 힘이 작용하지 않으면 그 물체는 멈춰있거나, 앞으로 일정하게 움직인다.

뉴턴의 제이법칙 : 힘의 법칙

Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

뉴턴의 제삼법칙 : 작용 반작용의 법칙

Lex III: Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi.

제1법칙

제1법칙은 관성의 법칙 또는 갈릴레이의 법칙으로도 불린다.

설명:

• 모든 물체의 질량중심은 그 상태를 바꿀만한 힘이 강제로 주어지지 않는 한, 정지 상태를 유지하거나 일정한 운동을 하여 진행 방향으로 계속 움직이는 상태를 유지하려는 성질이 있다.
• 물체의 질량중심은 외부력이 작용하지 않는 한, 정지해 있거나, 진행 방향을 따라 일정한 속도 v로 계속 움직이려는 성질이 있다.

미적분학의 표현을 빌리자면, 이것은 ${\frac {d}{dt}}\mathbf {v} =\mathbf {0}$와 같이 표현할 수 있다.

제1법칙이 제2법칙의 특수한 상황에 지나지 않음에도 불구하고, 제1법칙은 다른 두 법칙이 유효할 수 있도록 해주는 기준틀의 개념을 정의하고 있다. 이러한 기준틀은 관성기준틀 또는 갈릴레이 기준틀이 라고 불리며, 가속도가 0인 상태로 등속운동을 하는 기준틀을 가리킨다. (참조: 어떤 물체가 등속원운동을 하고 있는 경우에는, 등속운동을 하더라도 가속도는 0이 아니다. 이것은 지구가 지축을 따라 자전하고 태양을 중심으로 공전하기 때문에, 지구의 표면이 관성기준틀이 될 수 없다는 것을 의미한다. 하지만 많은 실험에서, 지구의 표면은 거의 관성기준틀로 가정할 수 있다는 것이 확인되었다. 지구 표면의 가속도로 인한 오차는 무시할 수 있는 수준이다.)

조금 덜 형식적인 표현을 빌리자면, 아리스토텔레스는 물체를 가만히 놓는다면 그 물체가 가만히 있는 것은 자연스러운 현상이며, 물체가 움직이려면 어떤 원인이 필요하다고 생각했다. 움직이던 물체가 마찰력 때문에 정지하는 것(천체의 경우 마찰력이 거의 없다고 볼 수 있으므로 제외한다.)은 흔히 볼 수 있는 현상이다. 하지만 갈릴레오의 실험에서 빗면을 따라 공을 굴리면 모든 물체는 그대로 놔두면 일정한 속도(0일 수도 있고 0이 아닐 수도 있다.)로 움직인다.는 것을 발견할 수 있다.

아리스토텔레스가 생각한 "물체의 가장 자연스러운 상태는 정지해 있는 것이다."로부터 갈릴레이의 발견(뉴턴의 제1법칙)으로 생각이 전환된 것은 물리학의 역사에 있어서 가장 심오하고 중요한 발견이라 할 수 있다. 우리의 일상에서, 마찰력은 모든 움직이는 물체에 작용하여 물체를 느리게 하고 결국엔 정지하게 만든다. 뉴턴은 모든 물체의 운동을 이끌어내는 원인을 힘으로 보고, 수학적 모델을 제시하였다.

제2법칙: 동역학의 기본법칙

설명:

• 운동량의 변화율은 물체에 작용하는 알짜힘에 비례하고, 알짜힘의 방향을 따른다.
• 일정한 질량을 가진 물체의 가속도는 알짜힘에 비례한다.

이 표현들을 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

$\mathbf {F} \propto {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}m\mathbf {v}$

또는

$\mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {a}$ (m은 상수).

여기서

• $\mathbf {F}$ 는 물체에 작용하는 힘이고,
• $m$ 은 물체의 질량이며,
• $\mathbf {a}$ 는 물체의 가속도이고,
• $\mathbf {v}$ 는 물체의 속도이며,
• $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ 은 물체의 운동량으로 정의된 물리량이다.

이 방정식은 물체에 더 큰 알짜힘이 가해질수록, 운동량의 변화는 커진다는 것을 나타내 주고 있다.

위의 방정식에서 물체의 질량 m은 물체의 특성으로 볼 수 있다. 일정한 질량 m을 가진 물체에 대해서만, 그 물체에 더 큰 알짜힘을 가할수록 운동량의 변화가 커진다. 그러므로 이 방정식은 간접적으로 질량의 개념을 정의하고 있기도 하다.

또한 F = ma에서, a는 직접 측정이 가능하지만 F는 측정할 수 있는 물리량이 아니다. 제2법칙은 단지 우리가 F의 값을 계산할 수 있다는 것만을 의미할 뿐이다. 이러한 힘의 계산법은 뉴턴의 만유인력의 법칙 또한 포함하고 있다.

하지만 $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$가 언제나 성립하는 것은 아니다. 일반적으로 물체의 질량과 속도는 둘 다 변수가 될 수 있다.

$\mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}(m\mathbf {v} )=m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+\mathbf {v} {\frac {dm}{dt}}=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {dm}{dt}}$

이 방정식은 질량 또한 변화하는 경우이다. 운동량을 $\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v}$와 같이 표현하는 경우($\gamma$는 ${\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$이다.) 이 방정식은 특수 상대성 이론에 적용될 수 있다.

이 방정식의 중요한 물리학적 의미는 물체가 힘을 통해 운동량을 교환한다는 의미가 함축되어 있다는 것이다.

뉴턴의 제3법칙과 함께, 제2법칙은 운동량 보존법칙을 포함하고 있다.

제3법칙: 반작용의 법칙

표현:

• 물체 A가 다른 물체 B에 힘을 가하면, 물체 B는 물체 A에 크기는 같고 방향은 반대인 힘을 동시에 작용한다.
• 운동량은 보존된다.

" 모든 작용에 대해 크기는 같고 방향은 반대인 반작용이 존재한다."라는 일반적인 설명은 애매하고 혼란스럽기 때문에 피하는 것이 좋다. "물체 A에 의한, 물체 B에 대한 힘이 존재할 때, 물체 B에 의한, 물체 A의 역힘이 존재한다."는 설명이 더 나을 것이다.

이 설명들은, 누군가가 물체를 200 N의 힘으로 때리면 그 물체 또한 같은 힘으로 그 사람을 때린다는 결과를 내포하고 있다. 예를 들어, 행성만 항성에 이끌리는 것이 아니라 항성 또한 행성에 이끌리고 있다. 반작용력은 작용의 반대 방향을 가지고, 그 크기는 동일하다. 하지만 작용력과 반작용력이 항상 일직선상에 위치할 필요는 없다. 두 쌍극자가 점전하와 쌍극자를 잇는 선에 수직하게 위치한 경우, 점전하에 의한, 전기쌍극자에 대한 힘을 예로 들 수 있다. 그 힘이 점전하와 쌍극자를 잇는 선에 수직인 경우 점전하게 대한 반작용력은 반대 방향을 취하겠지만, 작용력과 반작용력이 서로 평행한 경우에는 공간 내에서 서로 겹쳐지지 않게 된다.

때때로 제3법칙은 전자기력을 포함한 상황에서는 옳지 않은 경우도 있다. 물체 A가 물체 B에 대해 힘을 작용할 경우, 일반적으로 물체 B는 물체 A에 대해 조금 다른 힘을 작용한다. (이 힘은 전기장과 자기장에 의해 생성된 로렌츠 힘으로 생각할 수 있다.) 하지만 현대물리학은 전자기장이 전자기 복사를 통한 운동량 교환과 같은 상호작용에 의해 생성된다고 설명하고 있고, 장의 운동량이 이러한 계산을 포함하는 경우 뉴턴의 제3법칙 또한 성립한다고 보고 있다.

참조: Physics Study Guide

제3법칙의 약한 형태와 강한 형태

제3법칙의 "약한 형태"는 고전역학에 적용된다. (Marion and Thorton, 1995, pp. 333-337) 입자들의 계에서, $\mathbf {F} _{ab}$가 입자 b에 의한 입자 a에 대한 힘이라고 보면, 약한 형태는 다음 필요조건을 가진다.

$\mathbf {F} _{ab}=-\mathbf {F} _{ba}$

모든 고전 역학적 힘은 이 조건을 만족한다.

제3 법칙의 "강한 형태"는 힘이 크기가 같고 방향이 반대여야 할 뿐만 아니라, 두 힘이 두 입자를 잇는 직선상에 위치해야 한다는 조건까지 가진다. 중력은 이러한 강한 형태를 만족하지만, 전자기력은 약한 형태만을 만족한다. 정전기학에서 강한 형태는 적용되지 않는데, 점전하와 쌍극자를 잇는 직선에 수직으로 위치한 점전하와 완전쌍극자 사이의 상호작용을 생각해보면 알 수 있다.

임의의 힘이 존재할 때 질량중심과 같은 개념을 연구할 수 있다는 점에서 약한 형태는 수학적 추상성을 가지고 있다.

유효범위

1916년에 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 인류가 이때까지 해왔던 모든 예상 척도를 뛰어넘는 설명을 가능하게 해주었다. 하지만 비상대적인(저에너지의) 속도에서는 아인슈타인의 상대론적 모델이 고전역학으로 귀결된다.

$\lim _{v\rightarrow 0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=1$

즉, 속도가 광속의 1/3 이하에서는 $\gamma$가 1에 가까워지게 된다.

참조

• Marion, Jerry and Thornton, Stephen. Classical Dynamics of Particles and Systems. Harcourt College Publishers, 1995.