갈릴레이 군

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물리학수학에서, 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group)은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성 이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다.

정의[편집]

차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간 위의 갈릴레이 변환(Galilei變換, 영어: Galilean transformation)은 다음과 같은 꼴의 함수이다.

이들은 함수의 합성 아래 차원 리 군을 이루며, 이를 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group) 이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다.

여기서 유클리드 군이다. 는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다.

그렇다면, 반직접곱에서 위의 작용은 다음과 같다.

갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.

이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.

갈릴레이 대수[편집]

갈릴레이 군 리 대수갈릴레이 대수(Galilei代數, 영어: Galilean algebra) 이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자.

생성원 기호 단위
시간 변화 [시간]−1
공간 병진 이동 () [길이]−1
공간 회전 (, ) 1
갈릴레이 변환 () [시간] [길이]−1

그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 가 곱해져 있다.)

성질[편집]

갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다. 다시 말해, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 갖는다. 따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.

이에 따라, 중심 전하 을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.

표현론[편집]

3+1차원 갈릴레이 대수 의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.

우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수중심은 다음 원소들로 생성된다.

  • 중심 전하 . 이는 질량에 해당한다.
  • 질량 껍질 불변량 . 이는 질량정지 에너지의 곱이다.

푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다.

슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각

라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, 실수이다. 물리학적으로 이어야만 한다.

유질량 표현[편집]

인 경우를 생각하자. 공간 위에 질량 껍질 제약 을 가한 초곡면을 질량 껍질이라고 하며, 갈릴레이 변환 는 질량 껍질 위에 추이적으로 작용한다.

유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면, 의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은 에 의해 생성되는 스핀 군 이다 (). 인 경우, 3차원 스핀 군 의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀 에 의하여 완전히 분류된다. 즉, 인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 의 유니터리 표현 및 질량 , 정지 에너지 에 의하여 분류된다.

무질량 표현[편집]

인 경우, 유니터리 표현이므로 이다. 유도 표현 방법에 따르면, 공간에서의 안정자군을 고려해야 한다.

  • 인 경우: 이 경우 안정자군은 에 의하여 생성되는 유클리드 군 이다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
  • 인 경우: 이 경우 안정자군은 이며, 이는 에 대하여 수직인 방향의 에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군 의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용(영어: action at a distance)을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군타키온 표현과 유사하다.

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1차원 갈릴레이 군[편집]

0+1차원 갈릴레이 대수 은 1차원 아벨 리 대수이다. 0+1차원 갈릴레이 군 은 1차원 아벨 리 군 이다.

2차원 갈릴레이 군[편집]

1+1차원 갈릴레이 대수 은 3차원 실수 하이젠베르크 대수 와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저

가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.

이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다.

마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)

응용[편집]

갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.

실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약(영어: Wigner–İnönü contraction)이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.

역사[편집]

갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다.[1]:191–196 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]