사용자:Ssm06073/지수 적분 함수

지수 적분 함수(영어: Exponetial Integral Function)은 함수의 일종이다. 비초등함수의 일종이기도 하다.

위-E₁함수의 그래프, 아래-지수 적분 함수의 그래프

정의

지수 적분 함수는 정적분을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

$\operatorname {Ei} (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.\,$

혹은 다음과 같은 정의를 쓰기도 한다.

$\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi$

$z$의 실수부가 양수인 경우, 이 함수는

$\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du,\qquad \Re (z)\geq 0.$

로도 정의될 수 있다.

급수

$e^{-t}/t$의 테일러 급수를 적분하고 자연로그를 뽑아내면, 실수 $x$에 대해서 $\mathrm {E_{1}} (x)$의 급수표현을 얻어낼 수 있다.:

$\mathrm {E_{1}} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\qquad x\neq 0$

이 급수는 다음과 같이 일반화될 수 있다.

$\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\mathrm {Arg} (z)|<\pi )$

여기서 $\gamma$ ≈ 0.57721 56649 01532 ... 은 오일러-마스케로니 상수이다. 이 급수는 모든 $z$에 대해서 수렴한다.

이 급수는 $\mathrm {E_{1}} (x)$에 대해서 실수 $x$가 0 과2.5 사이일 때 적용할 수 있다. $x>2.5$일때는 각 항이 유의수준 이하로 떨어져 부정확하다.

같이 보기

• 사인 적분 함수

• 로그 적분 함수

• 코사인 적분 함수