이론물리학에서 빛원뿔 좌표계(빛圓뿔座標系, 영어: lightcone coordinate system) 또는 광추 좌표계(光錐座標系)란 민코프스키 공간의 좌표계의 하나다. 이 좌표계에서는 공간의 한 특정한 방향을 차별하여, 그 방향에 대한 인과성 구조를 명확히 드러낸다.
차원 민코프스키 공간의 직교 좌표계
를 생각하자. 직교 좌표계에서는 그 계량 텐서는
![{\displaystyle ds^{2}=-(dx^{0})^{2}+\sum _{i=1}^{D-1}(dx^{i})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc264437d028bffcadc6054aa578b2a12e8a9699)
가 된다. 여기서
![{\displaystyle x^{\pm }=(x^{1}\pm x^{0})/{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcee1b69bce854e2ff59e3850e64ccd1b4597d7)
를 정의하면, 빛원뿔 좌표계는
이다. 빛원뿔 좌표계에서 계량 텐서는 다음과 같다.
![{\displaystyle ds^{2}=2dx^{+}dx^{-}+\sum _{i=2}^{D-1}(dx^{i})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385bf5ad258e8a435d8a415ac7ef8e4d8d807770)
이 경우,
![{\displaystyle x_{\pm }=2x^{\mp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816d677d0bc52c0bcd563cc78ad03706c93e472d)
가 된다.
무질량 입자의 1차 양자화[편집]
빛원뿔 좌표계는 등각 불변이므로, 질량이 0인 입자나 막 따위를 다룰 때 용이하다.
예를 들어,
차원 시공간에서의 무질량 입자를 생각하자. 질량이 0이므로, 이는
![{\displaystyle \operatorname {SO} (2,D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591748306c03301ca400e70863dcfeaeecfe7002)
등각 대칭을 갖는다.
이 입자의 작용은
![{\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\,{\frac {1}{2}}e(t)^{2}{\dot {x}}^{\mu }(t){\dot {x}}_{\mu }(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b006dbc226e2f707345cf4d9653e41e106ea29)
이다. 여기서
는 세계선의 임의의 좌표이며,
![{\displaystyle x^{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{1,D-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa21ab2d166755406cadc7dd057c3fc2b06329b3)
는 입자의 위치를 나타내는
의 함수이며,
![{\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e13838b5fd9bd788af29deb6b826bbfe3960fc)
는
에 대한 속력이며,
![{\displaystyle e\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5442b06ece5e72416171fa962d1544405f0921e8)
는 세계선 위의 필바인이다. 그러나 이 작용에서는 등각 대칭이 명백히 드러나지 못한다.
이를 위하여, 가상의 “시간” 차원과 “공간” 차원을 추가하여, 민코프스키 공간
을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 적을 수 있다.[1]:§2, 2715
![{\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\left({\frac {1}{2}}{\dot {X}}^{M}{\dot {X}}_{M}-{\frac {1}{2}}\lambda X^{M}X_{M}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94f5736449ab233f962d535c59399d98cbe1314)
![{\displaystyle X^{M}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2,D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893fce6078c8af09b0af2086c45bc826017a2c01)
![{\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6857ed92fe9b8f7b6ba28ec45cfe006be801ac8)
이는 다음과 같은 게이지 대칭을 갖는다.
![{\displaystyle \delta X(t)=\epsilon (t){\dot {X}}^{M}(t)-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}(t)X^{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ec9ebc1286aad01680286a0119ee210e0ae621)
![{\displaystyle \delta \lambda (t)=\epsilon (t){\dot {\lambda }}(t)+2{\dot {\epsilon }}(t)\lambda (t)+{\frac {1}{2}}{\overset {\cdots }{\epsilon }}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a994ec511e2c88fe6e70d4bf2309f588af87bcc5)
이제, 보조장
의 운동 방정식은
![{\displaystyle X^{M}X_{M}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f881c717cac17ec407f2e135ec9cd011d9baffa2)
이다. 새로 추가한 두 차원의 빛원뿔 좌표를
![{\displaystyle X^{M}X_{M}=X^{\mu }X_{\mu }+2X_{+}X_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9227a806eeaa9ca4cc11801092f1d3b81ff6e23d)
라고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle X_{-}=-{\frac {X^{\mu }X_{\mu }}{2X_{+}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b7540f31df3d755e005f2519cd10e9977a8d0c)
가 된다. 이제
![{\displaystyle e=X_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d31f7939a37c5a597d16f737f2aa27217bcf391)
![{\displaystyle x^{\mu }=X^{\mu }/X_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144ff3e655ff549943fdf0a4f390a13325247659)
로 놓으면,
![{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,{\dot {X}}^{M}{\dot {X}}_{M}={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(ex^{\mu }){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(ex_{\mu })-{\dot {e}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(x^{\mu }x_{\mu }e)\right)={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,e^{2}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fdf80b9e17014ae14494b639c4798e7cce087b)
가 되어, 원래 작용을 얻게 된다.